4 電磁ポテンシャルの解

$t$ と $t'$ の間に

$$t'= t \pm \frac{\left\vert\vx -\vx'\right\vert}{c}$$ (22)

なる関係が成り立つとする。 このときEq.(18)で与えられる関数 $G_{\pm} \xo$ を用いるとき、 Eq.(8) の解は、

$$\vA \xt =\Int \left[ \mu_0 \int_{V'} d^3 \vx' \, G(\vx -\vx',\omega)\,\vj... ...^3 \vx' \, G_{\pm}\xo \cdot \frac{1}{2\pi} \Int \vj_0(\vx',t')e^{i\omega t'}dt'$$

$$=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} d^3\vx' \, \frac{1}{\left\vert\vx -... ...,e^{i \omega \left( \pm \frac{\left\vert\vx-\vx'\right\vert}{c} + t -t'\right)}$$

$$=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} d^3 \vx'\Int dt' \,\delta\left(t' -... ...vx'\right\vert}{c}\right)\,\frac{\vj_0(\vx',t')}{\left\vert\vx-\vx'\right\vert}$$ (23)

$$=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} d^3\vx' \,\frac{\vj_0(\vx',t')}{\left\vert\vx-\vx'\right\vert}$$ (24)

と表すことができる。 同様に Eq.(9) の解は、

$$\phi \xt =\Int \left[ \frac{1}{\vepsilon_0} \int_{V'} d^3 \vx' \, G(\vx -\... ...3 \vx' \, G_{\pm}\xo \cdot \frac{1}{2\pi} \Int \rho_0(\vx',t')e^{i\omega t'}dt'$$

$$=\frac{1}{4\pi\vepsilon_0} \int_{V'} d^3\vx' \, \frac{1}{\left\ve... ...,e^{i \omega \left( \pm \frac{\left\vert\vx-\vx'\right\vert}{c} + t -t'\right)}$$

$$=\frac{1}{4\pi\vepsilon_0} \int_{V'} d^3 \vx'\Int dt' \,\delta\le... ...x'\right\vert}{c}\right)\,\frac{\rho_0(\vx',t')}{\left\vert\vx-\vx'\right\vert}$$ (25)

$$=\frac{1}{4\pi\vepsilon_0} \int_{V'} d^3\vx' \,\frac{\rho_0(\vx',t')}{\left\vert\vx-\vx'\right\vert}$$ (26)

と表せる。 Eq.(23) と Eq.(25) は時間積分を行っていないので、 Eq.(22) の条件が$\delta$ 関数の積分の形で含まれることになるが、 $t'$ と $t$ はお互いに独立であると考えることができるので、 後の微分演算がしやすくなる利点がある。