2 電磁ポテンシャルと電磁場

電磁ポテンシャル $\vA \xt$ と $\phi\xt$ とを用いて電磁場を

$$\vE \xt = -\del{\vA\xt}{t} -\Nabla \phi\xt$$ (5)

$$\vB \xt = \Nabla \times \vA\xt$$ (6)

と書く。 このとき

$$\Nabla \times \vB = \Nabla \times \left(\Nabla \times \vA\right) = \Nabla \left(\Nabla \cdot \vA \right) -\Nabla^2 \vA$$

$$\Nabla \cdot \vE = -\deL{t}\left(\Nabla \cdot \vA\right) -\Nabla^2 \phi$$

である。 又このとき、電磁ポテンシャルはローレンツゲージ

$$\Nabla \cdot \vA\xt +\frac{1}{c^2} \del{\phi\xt}{t} = 0$$ (7)

を満たしている。 このとき、 Maxwell 方程式から、

$$\left(\Nabla^2 -\frac{1}{c^2}\deLL{t}\right)\vA\xt = \Nabla^2 \vA -\frac{1}{c^2} \dell{\vA}{t} = \Nabla \left(\Nabla... ...\vB +\frac{1}{c^2}\del{\vE}{t} +\frac{1}{c^2} \Nabla \left(\del{\phi}{t}\right)$$

$$= -\frac{1}{c^2} \deL{t}\Nabla \phi -\Nabla \times \vB + \frac{1}{c^2}\del{\vE}{t} + \frac{1}{c^2}\deL{t} \Nabla \phi$$

$$= -\mu_0 \vj_0\xt$$

$$\left(\Nabla^2 -\frac{1}{c^2}\deLL{t}\right)\phi\xt = \Nabla^2 \phi -\frac{1}{c^2} \dell{\phi}{t} = -\Nabla \cdot \vE -\deL{t} \left( \Nabla \cdot \vA \right)+ \deL{t} \left(\Nabla \cdot \vA \right)$$

$$= -\frac{1}{\vepsilon_0}{\rho_0}\xt$$

となるので、電磁ポテンシャルは、

$$\left(\Nabla^2 -\frac{1}{c^2}\deLL{t}\right)\vA\xt = -\mu_0 \vj_0\xt$$ (8)

$$\left(\Nabla^2 -\frac{1}{c^2}\deLL{t}\right)\phi\xt = -\frac{1}{\vepsilon_0} \rho_0\xt$$ (9)

で与えられる比同次微分方程式を満たしていることが分かる。