2 解、壱

無限遠で running wave に対応する解が得られるように、

$$G_{\pm} \xo= \frac{1}{4i \pi^2 r} \lim_{\epsilon \to +0} \Int \fr... ...\epsilon\to +0} \oint \frac{ke^{ikr}}{k^2 -\left(\mu\pm i\epsilon\right)^2} dk$$

として、極を $\pm i\epsilon \,(\epsilon > 0)$ だけずらして経路積分し、 その後 $\epsilon \to +0$ とするものとする。 留数定理を用いると

$$G_{\pm} \xo = \frac{1}{4i\pi^2 r} \lim_{\epsilon\to +0} \oint \frac{ke^{ikr}}... ...m \left(\mu \pm i\epsilon \right)}\right]_{k=\pm\left(\mu \pm i\epsilon\right)}$$

$$= \frac{1}{4i\pi^2 r} \lim_{\epsilon\to +0} \,2\pi i \left[ \frac... ...,2\pi i \left[ \frac{\pm\mu e^{i\left(\pm\mu \right)r}}{\pm\mu \pm \mu }\right]$$

$$=\frac{e^{\pm i\mu r}}{4\pi r} =\frac{1}{4\pi} \frac{e^{\pm i\frac{\omega}{c}\left\vert\vx\right\vert}}{\left\vert\vx\right\vert}$$ (18)

となる。 実軸を上の極の別の迂回路を用いた極限操作を行えば、 違った $G\xo$ が得られる。 やはり複素 $k$ 平面上半面内の無限半円周上を反時計回り、 実軸を含むような閉曲線上の複素積分をするとき、

$$G_{\pm} \xo = \frac{1}{4i \pi^2 r} \lim_{\epsilon \to +0} \Int \... ...\epsilon\right)} + \frac{e^{ikr}}{k-\left(-\mu \pm i\epsilon\right)}\right\}dk$$

とすれば、 $G_+\xo$ は極を含むので、主値積分より

$$G_+\xo = \frac{1}{4i \pi^2 r} \lim_{\epsilon\to +0} \oint \frac{1}{2} \l... ...\frac{1}{4i \pi^2 r} \frac{1}{2} \, i\pi \left( e^{i\mu r} + e^{-i\mu r}\right)$$

$$= \frac{\cos \mu r}{4\pi r}$$ (19)

となる。$G_-=\xo$ のときは、極を含まないので、

$$G_-\xo =0$$ (20)

である。 これらは定常波に対応する解である。