4 Maxwell方程式を満たす解

Green 関数を用いて、

$$\vA \xo = \mu_0 \int d^3 \vx' \,G(\vx -\vx' ,\omega) \, \vj_0 (\vx',\omega)$$ (15)

$$\phi \xo = \frac{1}{\vepsilon_0} \int d^3 \vx' \,G(\vx -\vx' ,\omega) \, \rho_0 (\vx',\omega)$$ (16)

とする。 Eq.(14) を $(\vx ,\omega) \to (\vx -\vx',\omega)$ に置き換え、両辺に $\mu_0\vj_0(\vx',\omega)\,d^3\vx'$ をかけ、 全領域に渡り積分を実行すると、

$$\mu_0 \int d^3 \vx'\, \Nabla^2 G (\vx-\vx') \, \vj_0(\vx',\omega)... ...vj_0(\vx',\omega) =-\mu_0\int d^3\vx' \,\delta^3(\vx-\vx') \,\vj_0(\vx',\omega)$$

$$\Longrightarrow \quad \Nabla^2\left[\mu_0 \int d^3 \vx'\, G (\vx-... ...t d^3 \vx' \, G (\vx-\vx')\,\vj_0(\vx',\omega) \right] =-\mu_0\vj_0(\vx,\omega)$$

$$\Longrightarrow \quad \Nabla^2\vA\xo +\frac{\omega^2}{c^2} \vA\xo = -\mu_0 \vj_0\xo$$

となりEq.(12) を満たしている。 同様に、 Eq.(14) を $(\vx ,\omega) \to (\vx -\vx',\omega)$ に置き換え、両辺に $\rho_0(\vx',\omega)/\vepsilon_0\,d^3\vx'$ をかけ、 全領域に渡り積分を実行すると、

$$\frac{1}{\vepsilon_0} \int d^3 \vx'\, \Nabla^2 G (\vx-\vx') \, \r... ...=-\frac{1}{\vepsilon_0} \int d^3\vx' \,\delta^3(\vx-\vx') \,\rho_0(\vx',\omega)$$

$$\Longrightarrow \quad \Nabla^2\left[\frac{1}{\vepsilon_0} \int d^... ...vx-\vx')\,\rho_0(\vx',\omega) \right] =-\frac{1}{\vepsilon_0}\rho_0(\vx,\omega)$$

$$\Longrightarrow \quad \Nabla^2\phi\xo +\frac{\omega^2}{c^2} \phi\xo = -\frac{\rho_0\xo }{\vepsilon_0}$$

となり、Eq.(13) を満たしている。

Eq.(14) を満たす Green 関数を求めることを考える。 $G\xo$ の $\vx$ についての Fourier 変換を

$$\hat{G}\ko = \frac{1}{\left(2\pi\right)^3} \int d^3 \vx \, e^{-\vk \cdot \vx} G\xo , \quad G\xo = \int d^3 \vk \, e^{i\vk \cdot \vx} \hat{G}\ko$$

などとして、 第二式をEq.(14) に代入すれば

$$-\int d^3 \vk \, e^{i \vk \cdot \vx } k^2 \hat{G}\ko + \frac{\omega^2}{c^2} \int d^3\vk \, e^{i\vk \cdot \vx}\hat{G}\ko =-\delta^3 (\vx)$$

が得られる。この両辺に $e^{-\vk'\cdot \vx}$ をかけて $d^3\vx$ で積分を実行すれば、 形式的に

$$\hat{G}\left(\vk',\omega\right) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^3} \... ...^2-\dfrac{\omega^2}{c^2}} = \frac{1}{\left(2\pi\right)^3} \frac{1}{k'^2 -\mu^2}$$ (17)

が得られ、これを逆変換することで

$$G\xo = \frac{1}{\left(2\pi\right)^3} \int d\vk \, \frac{e^{i\vk \... ...} = \frac{1}{4i \pi^2 r} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ke^{ikr}}{k^2 -\mu^2}dk$$

となる。 ここで $k'=\left\vert\vk'\right\vert$、 $\mu^2 =\omega^2/c^2$、 $r=\left\vert\vx\right\vert$、 $\vk \cdot \vx = kr \nu$ 、 $\nu =\cos\theta$ である。

$k$ について実軸上をで積分するとき積分経路に極 $\pm \mu$ が現れるので、 そのままでは積分は不十分で、 極の回避の仕方を決めることで積分の結果が決まることになる。 ここでは、 複素 $k$ 平面を考え、 その実軸上上半面内の無限半円周上を反時計回りにまわるような閉じた曲線上の複素積分を考える。 このとき無限半円周上の積分による寄与は

$$\exp\left[ \left(ik_R -k_l\right)r \right] = \exp\left(ik_R r\right)\exp\left(-k_i r\right)$$

の $\exp\left(-k_l r\right)$ の項により零になることが保証されるので、

$$\Int \frac{ke^{ikr}}{k^2 -\mu^2} dk = \oint_C\frac{ke^{ikr}}{k^2 ... ...\oint_{C} \frac{e^{ikr}}{k+\mu} dk + \oint_{C} \frac{e^{ikr}}{k-\mu} dk\right]$$

としてよく、 このとき右辺について Cauchy の積分定理が使える。