5 Liénard-Wiechertポテンシャル

電流密度や電荷密度が点電荷やその運動によって作られると考え、

$$\rho_0\xt = q\,\delta\left(\vx -\vx_0'(t)\right),\quad \vj_0\xt = qu(t)\, \delta\left(\vx -\vx_0'(t)\right)$$ (27)

と書く。またここで $t'$は

$$h\left(\vx ,t,t'\right) \equiv t' -t +\frac{\left\vert\vx-\vx'(t')\right\vert}{c}$$

を満たし、

$$R(\vx,t') = \left\vert\vx -\vx_0'(t')\right\vert ,\quad \vn(\vx,t... ...x-\vx_0'(t')}{R(\vx,t')},\quad \vu(t') = \di{\vx_0(t')}{t'} = c \bm{\beta}(t')$$

とする。 これをEq.(23) と Eq.(25) に代入すると、 $\delta$ 関数の

$$\Int dt \, \delta\left(f(t)\right)\,g(t) =\Int df \,\di{t}{f} \de... ...t(f)\right) = \sum_i \frac{1}{\dfrac{df(t_i)}{dt}} g(t_i)\Bigg\vert _{f(t_i)=0}$$ (28)

なる関係を用いて、

$$\vA \xt =\frac{\mu_0}{4\pi}\Int dt' \, \delta\left(h(\vx,t,t')\right) \fr... ...')\right\vert}{c}\right)} \frac{q\vu(t')}{R(\vx,t')}\Bigg\vert _{h(\vx,t,t')=0}$$

$$=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{1}{1-\vn(t')\cdot \bm{\beta}(t')} \frac{q\vu(t')}{R(\vx,t')}\Bigg\vert _{h(\vx,t,t')=0}$$ (29)

$$\phi \xt =\frac{1}{4\pi \vepsilon_0}\Int dt' \, \delta\left(h(\vx,t,t')\ri... ...-\vx'(t')\right\vert}{c}\right)} \frac{q}{R(\vx,t')}\Bigg\vert _{h(\vx,t,t')=0}$$

$$=\frac{1}{4\pi\vepsilon_0} \frac{1}{1-\vn(t')\cdot \bm{\beta}(t')} \frac{q}{R(\vx,t')}\Bigg\vert _{h(\vx,t,t')=0}$$ (30)

と表すことができる。 Eq.(29) と Eq.(30) はLiénard-Wiechert ポテンシャルである。