1 複素積分

複素 $k$ 平面上の、 上と同じ積分経路について留数定理を使えば、

$$\lim_{\epsilon \to +0} \Int \frac{e^{ikr}}{k \pm \mu -i\epsilon} ... ...\to +0} \oint_C \frac{e^{ikr}}{k \pm \mu -i\epsilon} dk =2\pi i e^{\mp i\mu r}$$

そして、

$$\lim_{\epsilon \to +0} \Int \frac{e^ikr}{k \pm \mu +i\epsilon} dk =\lim_{\epsilon \to +0} \oint_C \frac{e^ikr}{k \pm \mu +i\epsilon} dk=0$$

が得られるが、 左辺の実軸上での積分を

$$\lim_{\epsilon \to +0} \Int \frac{e^ikr}{k \pm \mu -i\epsilon} dk... ...n e^{i\phi} \, d\phi = P\Int \frac{e^{ikr}}{k\pm \mu} dk + i\pi e^{\mp i\mu r}$$

そして、

$$\lim_{\epsilon \to +0} \Int \frac{e^ikr}{k \pm \mu +i\epsilon} dk... ...n e^{i\phi} \, d\phi = P\Int \frac{e^{ikr}}{k\pm \mu} dk - i\pi e^{\mp i\mu r}$$

と書くことができる。 ここで、

$$P\Int \frac{f(k)}{k\pm \mu} dk \equiv \lim_{\epsilon\to +0} \left... ... \mu} dk + \int_{\mp \mu +\epsilon}^{+\infty} \frac{f(k)}{k\pm \mu} dk \right)$$

で定義される Cauchy's Principal Values である。 これから、 いずれの場合も上の主値積分に関しては、

$$P \Int \frac{e^{ikr}}{k\pm \mu} dk = i\pi e^{\mp i\mu r}$$

が得られる。又一般に、 実軸上で解析的な関数 $f(x)$ の実軸に沿った積分について

$$\lim_{\epsilon \to +0} \Int \frac{f(x)}{x -x_0 \pm i\epsilon}dx= P \Int \frac{f(x)}{x-x_0}dx \mp i\pi f(x_0)$$

が成り立ち、 これを記号的に

$$\frac{1}{x-x_0 \pm i\epsilon} = P \frac{1}{x-x_0} \mp i\pi \delta(x-x_0)$$

と書く。