3 Green関数

電磁ポテンシャル $\vA \xt$ などの、物理量の時間について Fouroer 変換を $\vA\xo$ と書けば、

$$\vA \xt = \int_{-\infty}^{+\infty} \vA \xo \, e^{-i\omega t}d\omega$$ (10)

$$\vA \xo = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \vA \xt \, e^{i\omega t}dt$$ (11)

などの関係を満たす。 Eq.(8) やEq.(9) に Fourier 変換をした量を代入すれば

$$\Nabla^2 \vA\xo + \frac{\omega^2}{c^2} \vA\xo = -\mu_0 \vj_0 \xo$$ (12)

$$\Nabla^2 \phi\xo + \frac{\omega^2}{c^2} \phi\xo = -\frac{\rho_0 \xo}{\vepsilon_0}$$ (13)

が得られる。有限領域で $\vj_0$ や $\rho_0$ が与えられたときの非同次微分方程式Eq.(12) と Eq.(13) の解 $\vA$ と $\phi$ のうちで、 無限遠で十分速く大きさが減少するものを考える。 このとき、 次の方程式を満たす Green 関数 $G\xo$ を考えると便利である。

$$\Nabla^2 G \xo +\frac{\omega^2}{c^2} G\xo =-\delta^3(\vx)=-\delta(x) \delta(y)\delta(z)$$ (14)

ここで $\delta^3(\vx)$ は $\delta$ 関数で、

$$\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int e^{-ikx}dk ,\quad \delta^3(\vx) =... ...vk \cdot \vx} d^3 \vk , \quad f(\vx)= \int f(\vx') \delta(\vx -\vx')\,d^3 \vx'$$

等の関係を満たす。