二つの慣性座標系
と
の間の線形座標変換で、
Eq.(1)を満たすものローレンツ変換である。
空間座標
をデカルト座標にとるとき、
二つの慣性座標系間のローレンツ変換は、
座標間の相対速度
だけに依存し、
座標系の回転などを考えず、
proper なもの
![$\displaystyle \det\left(\Lambda_\alpha^{\bar{\beta}}({\bf v})\right)=1$](Special_theory_of_relativity-img19.png) |
(3) |
に限れば、一般に
![$\displaystyle \bar{x}^\alpha = \Lambda_{\beta}^{\bar{\alpha}}({\bf v}) x^\beta$](Special_theory_of_relativity-img20.png) |
(4) |
![$\displaystyle \Lambda_{0}^{\bar{0}}(\vv) =\gamma,\quad \Lambda_{0}^{\bar{i}}(\v...
...,\quad \Lambda_{j}^{\bar{i}}(\vv) = \delta_{j}^i + v^i v_j (\gamma-1)/{\bf v}^2$](Special_theory_of_relativity-img21.png) |
(5) |
![$\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-{\bf v}^2}},\quad {\bf v} \leftrightarrow {\bf v}/c$](Special_theory_of_relativity-img22.png) |
(6) |
で与えられる。
ここで両慣性座標系間の相対速度
は光の速度で規格化してあり、
は Kronecher delta である。
座標変換の行列を
![$\displaystyle \Lambda_{\alpha}^{\bar{\beta}} ({\bf v}) \equiv \del{\bar{x}^\bet...
...d \Lambda_{\bar{\alpha}}^{\beta} ({\bf v}) \equiv \del{x^\beta}{\bar{x}^\alpha}$](Special_theory_of_relativity-img24.png) |
(7) |
で定義すれば、
が
![$\displaystyle \Lambda_{\alpha}^{\bar{\beta}} ({\bf v}) \Lambda_{\bar{\beta}}^...
... \del{x^\gamma}{\bar{x}^\beta}=\del{x^\gamma}{x^\alpha} =\delta_{\alpha}^\gamma$](Special_theory_of_relativity-img26.png) |
(8) |
を満たす。
例えば、
二つの近接した事象間隔を表す四元ベクトル
の反変成分
や共変成分
はそれぞれ
![$\displaystyle d\bar{x}^\alpha =\del{\bar{x}^\alpha}{x^\beta}dx^\beta =\Lambda_{...
... =\del{x^\beta}{\bar{x}^\alpha}dx_\beta =\Lambda_{\bar{\beta}}^{\alpha}dx_\beta$](Special_theory_of_relativity-img30.png) |
(9) |
と変換されるものとする。
同様にすれば、二階のテンソルは
![$\displaystyle \overline{T}^{\alpha \beta} = \del{\bar{x}^\alpha}{x^\gamma}\del{...
... \Lambda_{\bar{\alpha}}^{\gamma}\Lambda_{\bar{\beta}}^{\delta} T_{\gamma\delta}$](Special_theory_of_relativity-img31.png) |
(10) |
などと変換される。
また計量テンソルを用いて反変成分と共変成分とが
![$\displaystyle dx_\alpha = \eta_{\alpha \beta}dx^\beta, \quad dx^\alpha = \eta^{...
...rightarrow \qquad d x_0 = -d x^0,d x^0 = -d x_0, \quad dx_i = dx^i, dx^i = dx_i$](Special_theory_of_relativity-img32.png) |
(11) |
などで結びつけられる。
ここで
である。
Subsections
fat-cat
平成16年11月28日