1 任意の四元ベクトルに於けるローレンツ変換

任意の四元ベクトルを $f^\alpha =\left(f^0 ,\bm{f}\right)$ と書くことにする。 この反変成分はローレンツ変換により、

$$\bar{f}^\alpha = \Lambda_{\beta}^{\bar{\alpha}}f^\beta$$

なる変換を受けることになる。これを書き下すと

$$\bar{f}^{ 0} = \Lambda_{\beta}^{\bar{0}}f^\beta = \Lambda_{0}^{\bar{0}} f^0 + ... ...left( -\gamma v_i \right)f^i = \gamma f^0 -\gamma \left(\vv \cdot \bm{f}\right)$$

$$f^i = \Lambda_{\beta}^{\bar{i}}f^\beta = \Lambda_{0}^{\bar{i}}f^0 + \... ...^2 \right\}f^j = -\gamma v^i f^0 + f^i + v^iv_j \left(\gamma-1\right)/\vv^2 f^j$$

$$= -\gamma f^0 v^i + f^i + v^i v_j f^j \left(\gamma-1\right)/\vv^2... ...a f^0 v^i + f^i + v^i \left(\vv \cdot \bm{f}\right) \left(\gamma-1\right)/\vv^2$$

となるので、

$$\begin{pmatrix}\bar{f}^{ 0} \bar{\bm{f}} \end{pmatrix} = \be... ...} + \vv \left(\vv \cdot \bm{f}\right) \left(\gamma-1\right)/\vv^2 \end{pmatrix}$$ (12)

を得る。

ベクトルの空間成分 $\bm{f}$ を $\vv$ に平行な成分と垂直な成分に分けて

$$\bm{f} = \bm{f}_\parallel + \bm{f}_\perp , \qquad \bm{f}_\perp = \vv \left(\vv \cdot\bm{f}\right)/\vv^2$$

と書くことにすると、Eq.(12) は

$$\bar{f}^{ 0} = \gamma f^0 -\gamma \left(\vv \cdot \bm{f}_\parallel\right)$$

$$\bar{\bm{f}}_\parallel +\bar{\bm{f}}_\perp =-\gamma f^0 \vv + \bm{f}_\parallel+\bm{f}_\perp + \left(\gamma-1\right)\bm{f}_\parallel$$

$$\hspace{0mm}\Longrightarrow \bar{\bm{f}}_\parallel =-\gamma f^... ... + \gamma \bm{f}_\parallel \qquad \because \bar{\bm{f}}_\perp = \bm{f}_\perp$$

と書けることから、

$$\begin{pmatrix}\bar{f}^{ 0} \bar{{f}}_\parallel^{ 1} \b... ...pmatrix}f^0 f_\parallel^1 f_\parallel^2 f_\parallel^3 \end{pmatrix}$$

となり、

$$\begin{pmatrix}\bar{f}^{ 0} \bar{\bm{f}}_\parallel \end{pmat... ...ghtarrow{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}f^0 \bm{f}_\parallel \end{pmatrix}$$ (13)

を得る。ここで $\vv^T = \left(v_1 ,v_2 ,v_3\right)$ で、 $\overleftrightarrow{1}$ は三階の単位行列である。

式(4)から式(6)で与えられたローレンツ変換について $\Lambda_{\alpha}^{\bar{\beta}} (\vv)\Lambda_{\beta}^{\bar{\gamma}}(-\vv)$ を計算すると、

$$\alpha = \gamma = 0\quad \hbox{のとき、}$$

$$\Lambda_{0}^{\bar{\beta}} (\vv)\Lambda_{\beta}^{\bar{0}}(-\vv) = \Lambda_{0}^{\bar{0}} (\vv)\Lambda_{0}^{\bar{0}}(-\vv) + \Lambd... ...eft(\gamma v_i\right) = \gamma^2 -\gamma^2 \vv^2 = \left(1-\vv^2\right)\gamma^2$$

$$=1$$

$$\alpha =0, \gamma = i \quad \hbox{のとき、}$$

$$\Lambda_{0}^{\bar{\beta}} (\vv)\Lambda_{\beta}^{\bar{i}}(-\vv) = \Lambda_{0}^{\bar{0}} (\vv)\Lambda_{0}^{\bar{i}}(-\vv) + \Lambd... ...ft(-\gamma v^j \right) \left\{\delta_{j}^{i} + v^i v_j (\gamma-1)/\vv^2\right\}$$

$$= \gamma^2 v^i -\gamma v^i - v^i (\gamma-1)\gamma$$

$$=0$$

$$\alpha =i, \gamma = 0 \quad \hbox{のとき、}$$

$$\Lambda_{i}^{\bar{\beta}} (\vv)\Lambda_{\beta}^{\bar{0}}(-\vv) = \Lambda_{i}^{\bar{0}} (\vv)\Lambda_{0}^{\bar{0}}(-\vv) + \Lambd... ...eft\{\delta_{i}^{j} + v^j v_i (\gamma-1)/\vv^2\right\} \left(\gamma v_j \right)$$

$$=-\gamma^2 v_i + \gamma v_i + v_i (\gamma-1)\gamma$$

$$=0$$

$$\alpha =i, \gamma = j \quad \hbox{のとき、}$$

$$\Lambda_{i}^{\bar{\beta}} (\vv)\Lambda_{\beta}^{\bar{j}}(-\vv) = \Lambda_{i}^{\bar{0}} (\vv)\Lambda_{0}^{\bar{j}}(-\vv) + \Lambd... ..._i (\gamma-1)/\vv^2\right\}\left\{\delta_{k}^{j}+v^jv_k(\gamma-1)/\vv^2\right\}$$

$$= \delta_{i}^{j} -\gamma^2 v^j v_i + 2 v^jv_i (\gamma-1)/\vv^2 + ... ... \left[ \frac{(\gamma-1)^2}{\vv^2} +\frac{2(\gamma-1)}{\vv^2} -\gamma^2 \right]$$

$$=\delta_{i}^{j}$$

となる。よって

$$\Lambda_{\alpha}^{\bar{\beta}} (\vv)\Lambda_{\beta}^{\bar{\gamma}}(-\vv) = \delta_{\alpha}^{\gamma}$$

が成り立つので、 以下の関係が成り立つことが分かる。

$$\Lambda_{\bar{\beta}}^{\alpha}(\vv) \equiv \Lambda_{\beta}^{\bar{\alpha}}(-\vv)$$ (14)