3 慣性系の軸に平行な他の慣性系が、等速直線運動している場合

慣性系 ${O}$ の $x$ 軸に平行な慣性系 $\overline{O}$が速度 $v=v_x$ で等速直線運動しているとする。 このとき、 両慣性系の座標軸は平行であると仮定し、 Eq.(4)からEq.(6) で与えられたローレンツ変換の特別な場合であると考えれば、 $\left(x^0,x^1,x^2,x^3\right) = \left(ct,x,y,z\right)$ と $\left(\bar{x}^0,\bar{x}^1,\bar{x}^2,\bar{x}^3\right) = \left(c \bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z}\right)$ との関係が、

$$\begin{pmatrix}\bar{x}^0 \bar{x}^1 \bar{x}^2 \bar{x}^... ... & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^0 x^1 x^2 x^3 \end{pmatrix}$$ (17)

で与えられることは、 変換(13),(15)からも明らかである。 これを近接する二事象間について書けば、

$$\begin{pmatrix}d\bar{x}^0 d\bar{x}^1 d\bar{x}^2 d\bar... ... \end{pmatrix} \begin{pmatrix}dx^0 dx^1 dx^2 dx^3 \end{pmatrix}$$ (18)

を得る。 この場合、 慣性系 $\overline{O}$ の原点に静止している時計に進み $d\bar{x}^0$ を、 慣性系 $O$ の観測者が測ったときの時計の進み $dx^0$ とを比較すれば、

$$d\bar{x}^i = 0 ,\quad dx^i = vdx^0$$

であるから、

$$d\bar{x}^0 = \gamma dx^0 -\gamma v dx^1 = \gamma \left( 1-v^2\right) dx^0 = \sqrt{1-v^2} dx^0 \leq dx^0$$

となり、 慣性系 $O$ から見て運動している時計の進みが遅くなった様に見えることが分かる。 また、 慣性系 $\overline{O}$ に静止している棒の長さ $d\bar{x}^1$ を慣性系 $O$ で測ると、棒の両端の位置の計測は慣性系 $O$ で同時刻に於いて成されなければならないから、 $dx^0 =0$ として、

$$d\bar{x}^1 = -\gamma v dx^0 + \gamma dx^1 = \gamma dx^1\quad \Lon... ...dx^1 = \frac{1}{\gamma} d\bar{x}^1 = \sqrt{1-v^2} d\bar{x}^1 \leq d\bar{x}^1$$

となり、 運動している物体が運動方向に収縮しているように見える。