4 三次元速度

二つの慣性系 $O$ と $\overline{O}$ とから見た、 粒子の三次元速度を

$$u^i = \di{x^i}{x^0},\qquad \bar{u}^i = \di{\bar{x}^i}{\bar{x}^0}$$ (19)

で定義すると、

$$\bar{u}^i = \Lambda_{\alpha}^{\bar{i}} \di{x^\alpha}{\bar{x}^0} =... ...,\frac{ \dfrac{dx^\alpha}{dx^0} }{ \dfrac{d\bar{x}^0}{dx^0} }$$

と書くことができる。今

$$\Lambda_{\alpha}^{\bar{i}} \di{x^\alpha}{\bar{x}^0} = \Lambda_{0}... ...eft(-\gamma v^i\right) + u^i + v^i \left(\vv \cdot \vu\right) (\gamma-1)/\vv^2$$

$$\di{\bar{x}^0}{x^0} = \frac{d}{dx^0} \left( \Lambda_{\alpha}^{\ba... ...^k \right) = \gamma - \gamma \vv \cdot \vu =\gamma \left(1-\vv\cdot \vu\right)$$

であるから、

$$\bar{\vu} = \frac{1}{\gamma} \frac{ \vu -\gamma \vv + \vv \left(\... ...c{\gamma\left(\vu_\parallel -\vv\right)+\vu_\perp}{1-\left(\vv\cdot \vu\right)}$$ (20)

となる（Eq.(12) で $f\to x$ として、両辺を $t'$ で微分した場合も同じ結果を得る）。ここで $\vu_\parallel = \vv \left(\vv \cdot \vu\right)/\vv^2, \vu = \vu_\parallel+\vu_\perp$ である。 これは又今の場合、

$$\bar{u}^1 = \frac{u^1 -v}{1-v u^1},\quad \bar{u}^2 = \frac{1}{\gamma}\frac{u^2}{1-vu^1},\quad \bar{u}^3 = \frac{1}{\gamma}\frac{u^3}{1-vu^1}$$ (21)

で与えられることも分かる。 これらの関係式より、 $\vu = \left(1,0,0\right)$ のとき $\bar{\vu}=\left(1,0,0\right)$ となるから、 光の速さは両慣性系で同じことが確認される。