3 ポテンシャルの変形

図 1: 連星、テスト粒子それぞれの位置座標

軌道面に垂直に z 軸をとり、その軌道面内で二つの星を結ぶ線を x 軸にとり、 それに垂直な軸を y 軸ととるとき、

$$\Psi \equiv - \frac{a \Phi_R}{G \left(M_1+M_2\right)}$$ (6)

と定義する。 座標の取り方から位置ベクトル ${\bf r},{\bf r}_1,{\bf r}_2$ は図の様になる。 原点は長さ $a$の ${ {\bf r}_1- {\bf r}_2}$ を、 図のように内分する点であるので、 今

$$\alpha =\frac{M_1}{M_1+M_2} =\frac{1}{1+M_2/M_1}=\frac{1}{1+q},\quad \beta=\frac{M_2}{M_1+M_2} =\frac{M_2/M_1}{1+M_2/M_1}=\frac{q}{1+q}$$ (7)

とすると ${\bf r}_1,{\bf r}_2$ ベクトルは ${\bf r}_1= \left(\alpha a,0,0\right),\quad {\bf r}_2= \left(-\beta a,0,0\right)$ と書けることから

$$\left\vert{\bf r}-{\bf r}_1\right\vert = a\sqrt{ \left(\dfrac{x}{... ...sqrt{ \left(\dfrac{x}{a}+\beta\right)^2 + \dfrac{y^2}{a^2} +\dfrac{z^2}{a^2} }$$

となる。 また ${\bf\Omega}$ は z 軸方向であるから

$$\left({\bf\Omega \times r}\right)^2 = \Omega^2 \begin{pmatrix}-y... ... 0 \end{pmatrix}= \left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{G\left(M_1+M_2\right)}{a^3}$$

と書ける。 これららを元に(4)を(6) に代入すると

$$\Psi = \frac{M_1}{M_1+M_2} \frac{a}{\left\vert{\bf r} -{\bf r}_1\right... ...{\bf r}_2\right\vert} + \frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}\right)$$

$$=\frac{\alpha}{\sqrt{ \left(\dfrac{x}{a}-\alpha\right)^2 + \dfrac... ...+\dfrac{z^2}{a^2} } } +\frac{1}{2} \left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}\right)$$

となる。これを更に

$$\frac{x}{a} \longrightarrow x,\qquad \frac{y}{a} \longrightarrow y,\qquad \frac{z}{a} \longrightarrow z$$

と置き換えると、上式は

$$\Psi = \frac{\alpha}{\sqrt{ \left(x+\beta\right)^2 +y^2+z^2 }} +\... ...ta}{\sqrt{ \left(x-\alpha\right)^2 +y^2+z^2 }} +\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)$$ (8)

となる。