2 軌道半径と公転周期

軌道半径 $a$ が公転周期 $\Pi$ を年の単位、 日の単位、 時間の単位で表すことを考える。 重力定数は

$$G = 6.672 \times 10^{-11} [{\rm m^3/(kg\cdot s^2)}] = 6.672 \times 10^{-5} \quad [{\rm cm^3/(kg\cdot s^2)}]$$

$$= 6.672 \times 10^{-5}\cdot \left(3600\right)^2 \quad [{\rm cm^3/(kg\cdot hour^2)}]$$

$$= 6.672 \times 10^{-5}\cdot \left(3600\right)^2\cdot \left(24\right)^2 \quad [{\rm cm^3/(kg\cdot day^2)}]$$

$$= 6.672 \times 10^{-5}\cdot \left(3600\right)^2\cdot \left(24\right)^2\cdot \left(365\right)^2 \quad [{\rm cm^3/(kg\cdot year^2)}]$$

であり、また太陽質量は

$$M_\odot = 1.9891 \times 10^{30}\quad [{\rm kg}]$$

である。 (1) は $M_2/M_1=q$ とし、また太陽質量 $M_\odot$ を用いれば、

$$a = \frac{G\left(M_1+M_2\right)\Pi^2}{4\pi^2} =\left(\frac{G}{4\pi^... ...\odot \frac{M_1}{M_\odot}\left(1+\frac{M_2}{M_1}\right)\right\}^{1/3} \Pi^{2/3}$$

$$= \left(\frac{G M_\odot}{4\pi^2}\right)^{1/3} \left(\frac{M_1}{M_\odot}\right)^{1/3} \left(1+q\right)^{1/3} \Pi^{2/3}$$

と書けるので、これを計算すると

$$a = \begin{cases}1.4952 \dots \times 10^{13} \left(M_1/M_\odot\ri... ...^{1/3} \left(1+q\right)^{1/3} \Pi_{\rm hour}^{2/3} \quad [{\rm cm}] \end{cases}$$ (5)

となる。 この式を使えば、例えば、 太陽質量の星同士が壱拾時間の周期で公転している場合軌道半径は

$$a= 3.5 \times 10^{10} \times 2^{1/3} \times {10}^{2/3}= 2.046812417\dots \times 10^{11} = 2.0 \times 10^{11} \quad [{\rm cm}]$$

であることが分かる。