4-(3)

クーロンポテンシャル$\phi(\vr)$が存在する時は、電子の全エネルギーは

$$E = \frac{1}{2}m_e v^2 -e\phi(\vr)$$ (61)

である。電子は体積$V$の領域に存在するとし、 $\vr\sim\vr+d\vr$で電子が見つかる確率が

$$P({\bf r})\,d^3r =\frac{ e^{\frac{e\phi({\bf r})}{k_B T}} \, d^3r}{A}, \quad A \equiv \int_V d^3 r\, e^{\frac{e\phi(\vr)}{k_B T}}$$ (62)

で表されることを示せ。

4-(3)解答

位相空間 $dx dy dz \,dv_x dv_y dv_z = d^3 r d^3 v$で見出される確率は

$$P({\bf r})P(v)\, d^3 r d^3 v \propto e^{-\frac{E}{k_B T}} = e^{-\frac{m}{2k_B T}v^2}\cdot e^{\frac{e\phi({\bf r})}{k_B T}} \, d^3 r d^3 v$$

で書けるはずである。$P(v)d^3 v$に関しての関係は、先に見てきた通りであるので、 $P({\bf r})\,d^3r$について考えると、規格化定数を$B$として

$$P({\bf r})\,d^3r = B e^{\frac{e\phi({\bf r})}{k_B T}} \, d^3r$$

の関係が成り立つはずである。規格化定数$B$は

$$B^{-1} = \int_V d^3 r\, e^{\frac{e\phi({\bf r})}{k_B T}} \equiv A$$

と書けることから結局

$$P({\bf r})\,d^3 r = \frac{ e^{\frac{e\phi({\bf r})}{k_B T}} \,d^3 r }{A}$$ (63)

となり、これが体積$V$中の ${\bf r \sim r }+d{\bf r}$で電子が見つかる確率である。 著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp