4-(2)

粒子一個の平均運動エネルギーを求めよ。

4-(2)解答

位相空間中$d^3rd^3v$中に粒子を見出す確率は $e^{-\frac{m}{2k_B T}v^2} d^3rd^3v$に比例する。従って粒子一個の平均運動エネルギーは

$$\left\langle \frac{1}{2}mv^2 \right\rangle = \frac{ \displaystyle{\int \left(\frac{1}{2}mv^2\right) e^{-\fra... ...{\int e^{-\left( \frac{1}{k_B T} \right)\left( \frac{1}{2}mv^2 \right)}} d^3v }$$

と書くことができる。これより

$$\left\langle \frac{1}{2}mv^2 \right\rangle = -\deL{\left(\dfrac{1... ...e^{-\left( \frac{1}{k_B T} \right) \left(\frac{1}{2}mv^2\right)} d^3 v \right]$$

となるので、これを計算すると

$$\left\langle \frac{1}{2}mv^2 \right\rangle = -\deL{\left(\dfrac{1}{k_B T}\right)} \left[\ln\left(\frac{\dfra... ...ac{3}{2} \deL{\left(\dfrac{1}{k_B T}\right)} \,\ln \left(\frac{1}{k_B T}\right)$$

$$=\frac{3}{2}k_B T$$ (60)

を得る。これが粒子一個の平均運動エネルギーである。 $v^2 = v_x^2 +v_y^2 +v_z^2$であり、どの方向も特別なものではないと考えられるので壱自由度に対する粒子一個の平均エネルギーは$k_B T/2$であることが分かる。 著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp