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4-(4)

$ V\to \infty $の極限を考え、無限遠方で $ \phi({\bf r}\to\infty) = 0$とし、このときの電子の数密度を$ n_0$とする。 このとき任意の位置$ \vr$で電子の数密度が

$\displaystyle n_e(\vr) = n_0 e^{\frac{e\phi(\vr)}{k_B T}}$ (64)

で与えられることを示せ。

4-(4)解答

一般的に密度を求めには

$\displaystyle n({\bf r}) = \sum_{i=1}^N \delta({\bf r}_i -{\bf r})$ (65)

の平均値 $ {\bar{n}({\bf r})}$を計算すればよい。 $ \delta({\bf r}_i -{\bf r})$はDelta functionである。全体で電子が$ N$個あるとすると、この平均値は

$\displaystyle n_e({\bf r})
= {\bar{n}({\bf r})}
= N \frac{\displaystyle{ \int e...
...ac{e\phi({\bf r})}{k_B T}} \,d{\bf r} } }
= D e^{\frac{e\phi({\bf r})}{k_B T}}
$

となる。極限での条件より

$\displaystyle n_e({\bf r}\to \infty) = n_0 = D = \frac{N}{{\displaystyle \int_{V\to \infty} e^{\frac{e\phi(\vr)}{k_BT}}}\,d^3r}$    

であるから、

$\displaystyle n_e({\bf r}) = n_0 e^{\frac{e\phi({\bf r})}{k_B T}}$ (66)

となる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp