球座標
のときその線素(無限小離れた二点間の距離の二乗)を
今、定義 (31) に従って
を計算することを考える。
零でない成分を考えると、計量テンソルは対角成分しか存在しないので、 括弧の外側で
でなければならない。
同様に括弧の中では
であるから、結局実際計算する必要があるのでは
のときと
のときである(
のときは
の交換関係より
の場合と結果は同じになる)。
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さて、粘性応力テンソル
は
がスカラーになるように定義すれば二階の共変テンソルとなる。
応力テンソル
を粘性係数
を用いて、簡単のため以下では
ベクトルやテンソルの空間部分を共変微分に書き換えて、 両辺が共変ベクトルとなるように変換すれば、 粘性流体の運動方程式は
fat-cat 平成16年11月29日