さて任意のベクトル
に対する空間微分を行い
![$\displaystyle \frac{\partial \vec{\xi}}{\partial x^j} =\frac{\partial }{\partia...
...m{a}_i + \xi^i \frac{\partial \bm{a}_i}{\partial x^j} \equiv \xi_{;j}^i\bm{a}_i$](Tensor-img94.png) |
(22) |
によって反変ベクトル成分の微分演算子
を定義する。これは共変微分(covariant derivative) と呼ばれる。
上の式は、
、また
の性質から
と書き換えられることが分かる。従って
![$\displaystyle \bar{\xi}_{;k}^l = \frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^k} \frac{\partial \bar{x}^l}{\partial x^i} \xi_{;j}^i$](Tensor-img100.png) |
(24) |
が成り立ち、
が混合テンソルとして振る舞うことが分かる。
同様にすれば、例えばテンソル(成分)
を共変微分した
が混合テンソル(成分)として振る舞うこと
を示すことができる。
基底ベクトルの微分を
![$\displaystyle \frac{\partial \bm{a}_i}{\partial x^j} = \Gamma_{ij}^k \bm{a}_k$](Tensor-img104.png) |
(25) |
の様に
の一次結合を用いて表せば、
反変ベクトルの共変微分は
![$\displaystyle \xi_{;j}^i \equiv \frac{\partial \xi^i}{\partial x^j} + \Gamma_{kj}^i \xi^k$](Tensor-img105.png) |
(26) |
と書くことができる。全く同様にして
として、共変ベクトル(成分)の共変微分
を定義することができ、
が二階の共変テンソルとして振る舞うことも示せる。
また、
を微分すれば
が得られるが、
とすれば、
と書けるので、
等を使って、
を得る、従って
![$\displaystyle \frac{\partial \bm{a}^i}{\partial x^k} = -\Gamma_{lk}^i \bm{a}^l$](Tensor-img114.png) |
(27) |
であり、
![$\displaystyle \xi_{i;j} \equiv \frac{\partial \xi_i}{\partial x^j} - \Gamma_{ij}^k \xi_k$](Tensor-img115.png) |
(28) |
が得られる。
fat-cat
平成16年11月29日