4 共変微分

さて任意のベクトル $\vec{\xi}$ に対する空間微分を行い

$$\frac{\partial \vec{\xi}}{\partial x^j} =\frac{\partial }{\partia... ...m{a}_i + \xi^i \frac{\partial \bm{a}_i}{\partial x^j} \equiv \xi_{;j}^i\bm{a}_i$$ (22)

によって反変ベクトル成分の微分演算子 $\xi_{;j}^i$ を定義する。これは共変微分(covariant derivative) と呼ばれる。 上の式は、 $\vec{\xi}= \vec{\bar{\xi}}$ 、また $\bm{a}_i$ の性質から

$$\overline{\xi_{;k}^i \bm{a}_i} = \bar{\xi}_{;k}^i \bar{\bm{a}}_i =\frac{\partial \bar{\xi}^i}{\partial \bar{x}^k} {\bar{\bm{a}}}_i... ...bar{\xi}}}{\partial \bar{x}^k} =\frac{\partial \vec{{\xi}}}{\partial \bar{x}^k}$$

$$=\frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^k} \frac{\partial \vec{\xi}}{\partial x^j} \qquad\because \mathrm{chain rule}$$

$$=\frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^k} \cdot \left( \xi_{;j}^i ... ... \bar{x}^k} \frac{\partial \bar{x}^l}{\partial x^i} \xi_{;j}^i \bar{\bm{{a}}}_l$$ (23)

と書き換えられることが分かる。従って

$$\bar{\xi}_{;k}^l = \frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^k} \frac{\partial \bar{x}^l}{\partial x^i} \xi_{;j}^i$$ (24)

が成り立ち、 $\xi_{;j}^i$ が混合テンソルとして振る舞うことが分かる。 同様にすれば、例えばテンソル（成分） $T^{ij}$ を共変微分した $T_{;k}^{ij}$ が混合テンソル（成分）として振る舞うこと

$$\bar{T}_{;k}^{ij} = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^m}\frac{... ...al \bar{x}^j}{\partial x^n}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^k} T_{;l}^{mn}$$

を示すことができる。 基底ベクトルの微分を

$$\frac{\partial \bm{a}_i}{\partial x^j} = \Gamma_{ij}^k \bm{a}_k$$ (25)

の様に $\bm{a}_i$ の一次結合を用いて表せば、 反変ベクトルの共変微分は

$$\xi_{;j}^i \equiv \frac{\partial \xi^i}{\partial x^j} + \Gamma_{kj}^i \xi^k$$ (26)

と書くことができる。全く同様にして

$$\frac{\partial \vec{\xi}}{\partial x^j} = \frac{\partial }{\parti... ...{a}^i + \xi_i \frac{\partial \bm{a}^i}{\partial x^j} \equiv \xi_{i;j} \bm{a}^i$$

として、共変ベクトル（成分）の共変微分 $\xi_{i;j}$ を定義することができ、 $\xi_{i;j}$ が二階の共変テンソルとして振る舞うことも示せる。 また、 $\bm{a}^i \cdot \bm{a}_j = \delta_{j}^i$ を微分すれば

$$0= \frac{\partial }{\partial x^k} \left(\bm{a}^i \cdot \bm{a}_j\r... ...l \bm{a}^i}{\partial x^k}\cdot \bm{a}_j +\bm{a}^i \cdot \Gamma_{jk}^l \bm{a}_l$$

が得られるが、 $\partial \bm{a}^i/\partial x^k = \gamma_{kl}^i \bm{a}^l$ とすれば、 $\gamma_{kl}^i \bm{a}^l \cdot \bm{a}_j + \Gamma_{jk}^l \bm{a}^i \cdot \bm{a}_l=0$ と書けるので、 $\bm{a}^l \cdot \bm{a}_j =\delta_j^l$ 等を使って、 $\gamma_{kj}^i=-\Gamma_{jk}^{i}$ を得る、従って

$$\frac{\partial \bm{a}^i}{\partial x^k} = -\Gamma_{lk}^i \bm{a}^l$$ (27)

であり、

$$\xi_{i;j} \equiv \frac{\partial \xi_i}{\partial x^j} - \Gamma_{ij}^k \xi_k$$ (28)

が得られる。