の空間微分
は (25) より
![% latex2html id marker 4846
$\displaystyle \hspace{0mm}\therefore\quad \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} =\Gamma_{ik}^l g_{lj} + \Gamma_{jk}^l g_{li}$](Tensor-img118.png) |
(29) |
である。また、
![$\displaystyle \Gamma_{ij}^k =\Gamma_{ji}^k$](Tensor-img120.png) |
(30) |
とすれば、 (29) を用いると
であるので、これを組み合わせて、
![% latex2html id marker 4860
$\displaystyle \therefore \quad \Gamma_{kj}^i = \fra...
...c{\partial g_{jl}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kj}}{\partial x^l} \right)$](Tensor-img129.png) |
(31) |
であることが分かる。これを Christoffel の記号と呼ぶ。
ベクトルの積
はそれぞれの反変性より
であるから、二階の反変テンソルとして振る舞うことが分かる。
共変微分について
![$\displaystyle \left(\xi^i \xi^j\right)_{;k} = \xi_{;k}^i \xi^j + \xi^i \xi_{;k}^j$](Tensor-img132.png) |
(32) |
が成立するとすれば、この式を展開することで
となる。同様にすれば (28) より
が成立する。
これより任意の二階の反変テンソルや共変テンソルの共変微分が
で与えられることが分かる。
fat-cat
平成16年11月29日