光子(電磁波)のエネルギーと運動量とは二つの座標系の間で、
![$\displaystyle dW = \gamma \left(dW' + v dp_x\right) = \gamma \left( 1+ \beta \cos\theta'\right)dW'$](Special_theory_of_relativity-img365.png) |
(72) |
と変換される。このときEq.(59)
から、
![$\displaystyle \di{W}{\Omega} =\gamma^3 \left(1+\beta \cos\theta'\right)^3 \di{W'}{\Omega'}$](Special_theory_of_relativity-img366.png) |
(73) |
を得る。
粒子の瞬間的な静止系での電磁波の出力(Power) は
![$\displaystyle P' = \di{W'}{t'}$](Special_theory_of_relativity-img367.png) |
(74) |
で定義される。
従って
![$\displaystyle \dfrac{d^2 W}{dt' d\Omega} =\gamma^3 \left(1+\beta \cos\theta'\ri...
...dt'd\Omega'} =\gamma^3 \left(1+\beta \cos\theta'\right)^3 \dfrac{d P}{d\Omega'}$](Special_theory_of_relativity-img368.png) |
(75) |
である。
観測者の系で電磁波の出力を
なる
を使って
![$\displaystyle P_e = \di{W}{t_e}$](Special_theory_of_relativity-img371.png) |
(76) |
と定義する(emitted power)。
このときEq.(73),Eq.(74),Eq.(76),
と
の関係より、
である。
また、
観測者の系での電磁波の出力を
なる
を用いて、
![$\displaystyle P_r = \di{W}{t_r}$](Special_theory_of_relativity-img379.png) |
(79) |
と定義する(received power)。これも同様に考えて、
であることが分かる。
今、
粒子の静止系で
![$\displaystyle \di{P'}{\Omega'} \left(\pi -\theta',\pi +\phi'\right) =\di{P'}{\Omega'} \left(\theta',\phi'\right)$](Special_theory_of_relativity-img385.png) |
(82) |
が成立しているとする。
このとき
なる関係が成り立つので、
であることが分かる。
よって上式は結局
![$\displaystyle P_e = \int d\Omega' \left(1+\beta \cos\theta'\right)\di{P'}{\Omega'} =\int d\Omega' \di{P'}{\Omega'} =P'$](Special_theory_of_relativity-img393.png) |
(83) |
と計算される。
この場合、
はどの慣性系でも同じ値を持つ量であることが分かる。
荷電粒子の静止系での Larmor の公式より、
であるから、Eq.(69) より
![$\displaystyle \di{P_r}{\Omega}$](Special_theory_of_relativity-img380.png) |
![$\displaystyle = \frac{q^2}{4\pi c^3} \frac{ \gamma^6 \va_{\parallel}^2 +\gamma^...
..._{\parallel}^2 + \va_{\perp}^2 }{\left(1-\beta\cos\theta\right)^4} \sin^2 \Phi'$](Special_theory_of_relativity-img396.png) |
(84) |
となり、
また粒子の加速度の方向が粒子の速度の方向に一致するとき、
であるから、
となり、次式を得る。
![$\displaystyle \di{P_r}{\Omega} =\frac{q^2}{4\pi c^3} \va_\parallel^2 \frac{\sin^2\theta}{\left(1-\beta \cos\theta\right)^6}$](Special_theory_of_relativity-img399.png) |
(85) |
fat-cat
平成16年11月28日