4 電磁波の出力

光子（電磁波）のエネルギーと運動量とは二つの座標系の間で、

$$dW = \gamma \left(dW' + v dp_x\right) = \gamma \left( 1+ \beta \cos\theta'\right)dW'$$ (72)

と変換される。このときEq.(59) から、

$$\di{W}{\Omega} =\gamma^3 \left(1+\beta \cos\theta'\right)^3 \di{W'}{\Omega'}$$ (73)

を得る。

粒子の瞬間的な静止系での電磁波の出力(Power) は

$$P' = \di{W'}{t'}$$ (74)

で定義される。 従って

$$\dfrac{d^2 W}{dt' d\Omega} =\gamma^3 \left(1+\beta \cos\theta'\ri... ...dt'd\Omega'} =\gamma^3 \left(1+\beta \cos\theta'\right)^3 \dfrac{d P}{d\Omega'}$$ (75)

である。

観測者の系で電磁波の出力を $dt_e = \gamma dt'$ なる $dt_e$ を使って

$$P_e = \di{W}{t_e}$$ (76)

と定義する(emitted power)。 このときEq.(73),Eq.(74),Eq.(76),$dt_e$と $dt'$ の関係より、

$$\di{P_e}{\Omega} = \gamma^3 \left(1+\beta \cos\theta'\right)^3 \frac{d^2 W'}{dt' d\Omega'}$$ (77)

$$= \gamma^3 \left(1+\beta \cos\theta'\right)^3 \frac{1}{\gamma} \d... ...c{\left(1-\beta^2\right)^3}{\left(1-\beta \cos\theta\right)^3} \di{P'}{\Omega'}$$

$$=\frac{1}{\gamma^4 \left(1-\beta \cos\theta\right)^3} \di{P'}{\Omega'}$$ (78)

である。 また、 観測者の系での電磁波の出力を $dt_r = \gamma \left(1-\beta \cos\theta\right) dt'$ なる $dt_r$ を用いて、

$$P_r = \di{W}{t_r}$$ (79)

と定義する(received power)。これも同様に考えて、

$$\di{P_r}{\Omega} =\dI{\Omega} \left(\di{W}{t_r}\right)   \frac{1}{\gamma \left(1-\... ...eta}{1+\beta \cos\theta'}} \left(1+\beta \cos\theta'\right)^3 \di{W'}{\Omega'}$$

$$= \gamma^4 \left(1+\beta \cos\theta'\right)^4 \di{P'}{\Omega'}$$ (80)

$$=\gamma^2 \left(1+\beta \cos\theta'\right)^3 \gamma^2 \left(1+... ...ht)^3} \gamma^2 \frac{\cos\theta -\beta}{1-\beta\cos\theta} \di{W'}{\Omega'}$$

$$=\frac{1}{\gamma^4 \left(1-\beta \cos\theta\right)^4} \di{W'}{\Omega'}$$ (81)

であることが分かる。

今、 粒子の静止系で

$$\di{P'}{\Omega'} \left(\pi -\theta',\pi +\phi'\right) =\di{P'}{\Omega'} \left(\theta',\phi'\right)$$ (82)

が成立しているとする。 このとき

$$P_e = \int d\Omega \di{P_e}{\Omega} =\int d\Omega' \frac{d\Omega... ...' \left(1+\beta \cos\theta'\right)\di{P'}{\Omega'} \left(\theta',\phi'\right)$$

$$=\int_{0}^{2\pi}d\phi'\int_{0}^\pi d\theta' \sin\theta' \left(1+... ...d\hbox{ここで、$\theta' \to \pi -\theta', \phi' \to \pi+\phi'$ と変換すると、}$$

$$= \int_0^{2\pi} d\phi' \int_{\pi}^0 d(-\theta') \sin\left(\pi -\... ...eft(\pi-\theta'\right)\right\}\di{P'}{\Omega}\left(\pi-\theta',\pi+\phi'\right)$$

$$=-\int_0^{2\pi}d\phi' \int_\pi^{0} \sin\theta' \left(1-\beta\cos... ...eta' \left(1-\beta \cos\theta'\right) \di{P'}{\Omega}\left(\theta',\phi'\right)$$

$$=\int d\Omega' \left(1-\beta \cos\theta'\right)\di{P'}{\Omega'} \left(\theta',\phi'\right)$$

なる関係が成り立つので、

$$\int d \Omega' \beta \cos\theta' \di{P'}{\Omega'} \left(\theta',\phi'\right) =0$$

であることが分かる。 よって上式は結局

$$P_e = \int d\Omega' \left(1+\beta \cos\theta'\right)\di{P'}{\Omega'} =\int d\Omega' \di{P'}{\Omega'} =P'$$ (83)

と計算される。 この場合、 $P_e$ はどの慣性系でも同じ値を持つ量であることが分かる。

荷電粒子の静止系での Larmor の公式より、

$$\di{P_r}{\Omega} = \frac{1}{\gamma^4 \left( 1-\beta \cos\theta\right)^4} \di{P'}{\... ...a'\right\vert^2 \frac{1}{\gamma^4 \left(1-\beta \cos\theta\right)^4}\sin^2\Phi'$$

であるから、Eq.(69) より

$$\di{P_r}{\Omega} = \frac{q^2}{4\pi c^3} \frac{ \gamma^6 \va_{\parallel}^2 +\gamma^... ..._{\parallel}^2 + \va_{\perp}^2 }{\left(1-\beta\cos\theta\right)^4} \sin^2 \Phi'$$ (84)

となり、 また粒子の加速度の方向が粒子の速度の方向に一致するとき、 $\Phi'=\theta',\va_\perp' =0$ であるから、

$$\sin \Phi' =\sin\theta' =\frac{1}{\gamma} \frac{\sin\theta}{1-\beta \cos\theta}$$

となり、次式を得る。

$$\di{P_r}{\Omega} =\frac{q^2}{4\pi c^3} \va_\parallel^2 \frac{\sin^2\theta}{\left(1-\beta \cos\theta\right)^6}$$ (85)