3 ローレンツ力

今電荷 $e$ 、 質量 $m$ の陽子が真空中で、 慣性系 $S$ に於いて与えられた電磁場 $f_{\mu\nu}$ の作用を受けて運動しているとしたとき、 この陽子の運動方程式を求めることを考える。 ある瞬間に於ける粒子の静止系を $\overline{S}$ 系とすれば、 この系 Eq.(32) から、

$$\overline{F}^i = e\overline{E}_i = ce \bar{f}^{ 0i} ,\qquad \overline{F}^0 = 0$$

として、

$$\overline{F}^\alpha = ce \bar{f}^{ 0\alpha}$$

が得られる。

ローレンツ変換

$$F^\alpha = \Lambda_{\bar{\beta}}^{\alpha} \overline{F}^\beta = \L... ...{\bar{0}} f^{\gamma \delta} = c e \Lambda_{\gamma}^{\bar{0}}f^{\gamma \alpha }$$

を計算すると、

$$F^i = c e \Lambda_{\gamma}^{\bar{0}}f^{\gamma i } = ce \left( \Lambda... ...}}f^{1 i}+ \Lambda_{2}^{\bar{0}}f^{2 i }+ \Lambda_{3}^{\bar{0}}f^{3 i } \right)$$

$$= ce \left[\gamma_u \begin{pmatrix}E_x/c E_y/c E_z/c \end{p... ...{pmatrix} -\gamma_u u_z/c \begin{pmatrix}B_y -B_x 0 \end{pmatrix} \right]$$

$$= \gamma_u e \left( \vE + \vu \times \vB\right) \equiv \gamma_u \vK$$

であり、また、

$$F^0 = c e \Lambda_{\gamma}^{\bar{0}}f^{\gamma 0 } = ce \left( \Lambda... ...mbda_{3}^{\bar{0}}f^{3 0 }\right) = ce \left( -\gamma_u (-u_i) E^i /c^2 \right)$$

$$= e \gamma_u\vu \cdot \vE/c = e \gamma_u\left( \vE + \vu \times \vB \right) \cdot \vu /c \qquad \because (\vu \times \vB) \perp \vu$$

$$= \gamma_u /c \vu \cdot \vK$$

と書けることから、結局

$$\vF = \gamma_u e \left( \vE + \vu \times \vB\right) \equiv \gamma_u \vK , \qquad c \gamma_u^{-1} F^0 = \vu \cdot \vK$$ (44)

を得る。ここで $\vK$ は $S$ 系に於けるローレンツ力である。 従ってEq.(29) より

$$\vF = \di{\vp}{\tau} = \gamma_u \di{\vp}{t} =\gamma_u\dI{t} {(m\gamma... ...m\gamma_u\dI{t} {(\gamma_u \vu)}= \gamma_u e \left( \vE + \vu \times \vB\right)$$

となり、陽子の運動方程式が

$$\di{\vp}{t} = m \dI{t} \left(\gamma_u \vu \right) = e \left( \vE + \vu \times \vB\right)$$ (45)

で与えられることになる。 また、

$$F^0 = \di{p^0}{\tau} = \gamma_u \di{m\gamma_u c}{t} = \gamma_u m c \di{\gamma_u}{t}= \gamma_u /c \vu \cdot \vK$$

であるから、

$$mc^2 \di{\gamma_u}{t} = \vu \cdot \vK = e \vu \cdot \vE$$ (46)

が成り立ち、この量が慣性系 $S$ に於ける仕事率に等しいことが分かる。 また、

$$\di{p^\alpha}{\tau} = F^\alpha = e \eta^{\alpha \beta} f_{\beta\gamma}U^\gamma$$

なる関係式を用いると、

$$\di{p^0}{\tau} = m \gamma_u \di{\gamma_u}{t} = e \eta^{0\beta}f_{\beta \gamma}U^\g... .../c^2 \vu \cdot \vK \qquad \therefore mc^2 \di{\gamma_u}{t} = \vu \cdot \vK$$

$$\di{p^i}{\tau} = \gamma_u m \dI{t} {(\gamma_u u^i)} = e \eta^{i\beta}f_{\beta \gamma}U^\gamma = e \eta^{ii}f_{i\gamma}U^\gamma =e \left\{ - (-E^i/c) m \gamma_u c + \gamma_u m \left[\vu \times ... ...t]_i \right\} =em \gamma_u \left\{ E^i + \left[\vu \times \vB\right]_i \right\}$$

$$\Longrightarrow\quad \dI{t}(\gamma_u \vu ) = e\left( \vE + \vu \times \vB \right)$$

と計算でき、 Eq.(45)とEq.(46) と一致することが確認できる。