4 Ohm の法則

媒質の静止慣性系 $\overline{S}$ で Ohm の法則

$$\bar{j}^k = \sigma \overline{E}^k = c \sigma \bar{f}{ 0k}$$ (47)

が成立しているとする。 ここで $\sigma$ は電気伝導度である。

慣性系 $S$ に於ける Ohm の法則を求めるのに

$$j^\alpha =\Lambda_{\bar{\beta}}^{\alpha} \bar{j}^\beta = \Lambd... ...bar{0}}^{\alpha} \bar{j}^0 + c\sigma \Lambda_{\beta}^{\bar{0}} f^{\beta\alpha}$$

$$u_\alpha j^\alpha = \bar{u}_\alpha \bar{j}^\alpha =\bar{u}_0 \bar{j}^0 = -c \bar{j}^0 = -c^2 \bar{\rho}$$

なる関係式を用いると、

$$j^0 = \Lambda_{\bar{0}}^{0} \bar{j}^0 + c\sigma \Lambda_{\beta}^{\bar... ...da_{i}^{\bar{0}} f^{i0}\right) = \gamma \bar{j}^0 + c\sigma \gamma v_i/c E^i/c$$

$$=\gamma \bar{j}^0 + \sigma \gamma\left(\bm{\beta} \cdot \vE\right... ...gamma \left(\bm{\beta} \cdot \vE\right) \qquad \hbox{ここで $\bm{\beta}=\vv/c$}$$

$$j^i = \Lambda_{0}^{\bar{i}} \bar{j}^0 + c \sigma \Lambda_{\beta}^{\ba... ...\sigma \left(\Lambda_{0}^{\bar{0}} f^{0i} + \Lambda_{j}^{\bar{0}} f^{ji}\right)$$

$$=j^0 v^i /c - \sigma \gamma v^i/c \left(\bm{\beta} \cdot \v... ...ft\{ \vv \times \vB \right\}_i -\beta^i \left(\bm{\beta}\cdot \vE\right)\right]$$

$$\vj = \sigma \gamma \left[ \vE + \vv \times \vB -\bm{\beta} \left(\bm{\beta}\cdot \vE\right)\right] + \rho \vv \equiv \vj_{\rm cond} + \rho\vv$$ (48)

と書けることが分かる。 よって明らかに、 $\left\vert\bm{\beta}\right\vert\ll 1$ のとき、

$$\vj_{\rm cond} \cong \sigma \left(\vE + \vv \times \vB\right)$$

となることが分かる。