2 電場、磁場のローレンツ変換

$S$ 系に於ける電場、磁場 $\vE$ 、$\vB$ と $\overline{S}$ 系に於ける電場、磁場 $\overline{\vE}$ 、 $\overline{\vB}$ との関係を、 $f_{\alpha \beta}$ の変換則を用いて求める。 ここで $\overline{S}$ 系は $S$ 系に対して速度 $\vv$ で運動しているものとする。 ローレンツ変換 Eq.(5) を用いると、

$$\bar{f}_{i0} = \Lambda_{\bar{i}}^{\mu} \Lambda_{\bar{0}}^{\nu}f_{\mu\nu} = \La... ...\Lambda_{\bar{0}}^{0}f_{j0} + \Lambda_{\bar{i}}^{j} \Lambda_{\bar{0}}^{k}f_{jk}$$

$$= \gamma^2 v_i v^j f_{0j} + \gamma \left\{ \delta_{i}^{j} +v^j v_... ...j0} + \gamma v_k \left\{\delta_{i}^{j} + v^j v_i (\gamma-1)/\vv^2\right\}f_{jk}$$

$$=\gamma f_{i0} + v_i v^j \left\{-\gamma^2 + \gamma(\gamma-1)/\vv^2\right\}f_{j0} + \gamma f_{ik} v_k + \gamma v_k v^j v_i (\gamma-1)/\vv^2 f_{jk}$$

$$=\gamma f_{i0} + v_i v^j (1-\gamma) f_{j0} /\vv^2+\gamma f_{ik} v... ...\gamma v_i (\gamma-1)/\vv^2 \Big( v^1v_1 f_{11} + v^1v_2 f_{12} + v^1v_3 f_{13}$$

$$\hspace{90mm} + v^2v_1 f_{21} + v^2v_2 f_{22} + v^2v_3 f_{23}$$

$$\hspace{100mm} + v^3v_1 f_{31} + v^3v_2 f_{32} + v^3v_3 f_{33} \Big)$$

$$=\gamma f_{i0} + (1-\gamma) v_i v^j f_{j0}/\vv^2 +\gamma f_{ik} v_k$$

と書けることから、（この段階では、$c=1$ であるので、 $c$ をあからさまにして($v \to v/c$ ) 考えると）

$$\overline{\vE} = \gamma \vE + (1-\gamma) \vv \left(\vv \cdot \vE \right)/\vv^2 + \gamma \vv\times \vB$$ (40)

である。同様にして、

$$\bar{f}_{ij} = \Lambda_{\bar{i}}^{\mu}\Lambda_{\bar{j}}^{\nu}f_{\mu\nu} = \Lam... ...Lambda_{\bar{j}}^{0} f_{k0} + \Lambda_{\bar{i}}^{k}\Lambda_{\bar{j}}^{m} f_{km}$$

$$= \gamma v_i \left\{ \delta_{j}^{l} +v^l v_j (\gamma-1) /\vv^2\ri... ...-1)/\vv^2 \right\}\left\{\delta_{j}^{m} + v^m v_j(\gamma-1)/\vv^2\right\}f_{km}$$

$$=\gamma v_i f_{0j} + v_i v^l v_j (\gamma-1)\gamma/\vv^2 f_{0l} + \gamma v_j f_{i0} + v_j v^k v_i (\gamma-1)\gamma /\vv^2 f_{k0}$$

$$\hspace{50mm}+ f_{ij} + v^m v_j (\gamma-1) /\vv^2 f_{im} + v^k v_i (\gamma-1)/\vv^2 f_{kj} + v^k v_i v^m v_j (\gamma-1)^2/\vv^4 f_{km}$$

$$=f_{ij} + \gamma \left( -v_i f_{j0} + v_j f_{i0}\right) + v_i v^j... ...f_{0k}\right) + (\gamma-1) \left\{ v^m v_j f_{im} -v^k v_i f_{jk}\right\}/\vv^2$$

$$= f_{ij} + (\gamma-1) \left( v_j v_k f_{ik} -v_i v_k f_{jk} \right)/\vv^2 +\gamma \left(-v_j f_{j0} + v_j f_{i0}\right)$$

と書けることから、$\vE$ のときと同様にすると、

$$\overline{\vB} = \gamma \vB + (1-\gamma)\vv \left(\vv \cdot \vB\right)/\vv^2 -\gamma \vv \times \vE /c^2$$ (41)

となる。

電場や磁場を相対速度 $\vv$ に平行な成分と垂直な成分に分けると

$$\vE_\parallel = \vv \left(\vv \cdot \vE\right)/\vv^2 ,\qquad \vB_\parallel = \vv \left(\vv \cdot \vB\right)/\vv^2$$

であるから、

$$\overline{\vE} = \overline{\vE}_\parallel + \overline{\vE}_\perp = \gamma \left( {\vE}_\parallel + {\vE}_\perp \right) + (1-\gamma... ...\gamma \vv \times \left( \overline{\vB}_\parallel + \overline{\vB}_\perp\right)$$

$$= \vE_\parallel + \gamma \left( \vE_\perp +\vv \times \vB_\perp \right)$$

$$\overline{\vE}_\parallel = \vE_\parallel ,\quad \overline{\vE}_\perp = \gamma \left( \vE_\perp + \vv \times \vB_\perp\right)$$ (42)

$$\overline{\vB} = \overline{\vB}_\parallel + \overline{\vB}_\perp = \gamma \left( {\vB}_\parallel + {\vB}_\perp \right) + (1-\gamma... ...ma \vv \times \left( \overline{\vE}_\parallel + \overline{\vE}_\perp\right)/c^2$$

$$= \vB_\parallel + \gamma \left( \vB_\perp - \vv \times \vE_\perp /c^2\right)$$

$$\overline{\vB}_\parallel = \vB_\parallel ,\quad \overline{\vB}_\perp = \gamma \left( \vB_\perp - \vv \times \vE_\perp/c^2\right)$$ (43)

を得る。