2 ppI に ppII と ppIII を加えた場合

ppI に ppII と ppIII を加えたとき、各原子核の数密度の時間変化を表す式を考える。 ${\rm H}$ の関しては、ppI の場合に加え ${\rm Be^7(p,\gamma)B^8},{\rm Li^7(p,\alpha)He^4}$ の反応より

$$\di{{\rm H}}{t} = -2 r_{\rm pp} - r_{\rm pD} + 2R_{\rm He^3 He^3}... ...}{2}-\lambda_{\rm pBe^7}{\rm H}{\rm Be^7}-\lambda_{\rm p Li^7}{\rm H}{\rm Li^7}$$ (39)

となる。以下同様に考えると、${\rm D}$ については変化が無いので

$$\di{{\rm D}}{t} =r_{\rm pp}-r_{\rm pD} = \lambda_{\rm pp} \frac{{\rm H}^2}{2} - \lambda_{\rm pD}{\rm H}{\rm D}$$ (40)

となる。 ${\rm He^3}$ は ${\rm He^3(\alpha,\gamma)Be^7}$ の反応より

$$\di{{{\rm {He}^{3}}}}{t} = r_{\rm pD}-r_{{\rm {He}^{3}} {\rm {He}... ...m H}{\rm D} -\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}$$ (41)

となる。 ${\rm {He}^{4}}$ は ${\rm He^3(\alpha,\gamma)Be^7}$ 、 また ${\rm Be^7(p,\gamma)B^8(\beta^+\nu)Be^8(\alpha)He^4}$ の反応に於いて、 ${\rm B^8(\beta^+\nu)}$の反応が極めて短く、壱秒程度なので、 実質的に ${\rm Be^7 + {\rm H}\to 2 He +\nu}$ なる反応と同様であることから

$$\di{{\rm {He}^{4}}}{t} = r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} -r_{{\r... ... 2\lambda_{\rm p Be^7}{\rm H}{\rm Be^7}+2 \lambda_{\rm p Li^7}{\rm H}{\rm Li^7}$$ (42)

となる。 ${\rm Be^7}$ は ${\rm Be^7(p,\gamma)B^8,He^3(\alpha,\gamma)Be^7,Be^7(e^-,\nu,Li^7)}$ の反応より

$$\di{{\rm Be^7}}{t} = r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} -r_{\rm p B... ...lambda_{\rm e Be^7} N_{\rm e}{\rm Be^7} -\lambda_{\rm p Be^7} {\rm H}{\rm Be^7}$$ (43)

となる。 ${\rm Li^7}$ は ${\rm Be^7(e^-,\nu)Li^7,Li^7(p,\alpha)He^4}$ の反応より

$$\di{{\rm Li^7}}{t} = r_{\rm e Be^7} - r_{\rm p Li^7} =\lambda_{\rm e Be^7} N_{\rm e} {\rm Be^7} -\lambda_{\rm p Li^7} {\rm H}{\rm Li^7}$$ (44)

となる。ここで $N_{\rm e}$ は電子の数密度である。

ppI の場合と同様にして、適当な近似のもとで解くことを考える。 まず、deuterium が直ちに平衡に達するとして

$$D = \frac{\lambda_{\rm pp}}{2\lambda_{\rm p D}} {\rm H}$$ (45)

とする。 また、 ${\rm Be^7}$ や ${\rm Li^7}$ は ${\rm p}$ と反応してすぐに壊れるので、 やはり容易に平衡に達するとして

$$\di{{\rm Be^7}}{t} = \lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}{\rm {... ...bda_{\rm e Be^7} N_{\rm e}{\rm Be^7} -\lambda_{\rm p Be^7} {\rm H}{\rm Be^7} =0$$ (46)

$$\di{{\rm Li^7}}{t} = \lambda_{\rm e Be^7} N_{\rm e} {\rm Be^7} -\lambda_{\rm p Li^7} {\rm H}{\rm Li^7} =0$$ (47)

が成り立つとする。 更に ${\rm {He}^{3}}$ も十分速く平衡に達するとして

$$\di{{\rm {He}^{3}}}{t} = -2 \lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}... ...{\rm D} -\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} {\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}} =0$$ (48)

とする。このとき(39)は

$$\di{{\rm H}}{t} = - \lambda_{\rm pp}{{\rm H}^2} -\lambda_{\rm pD} {\rm H}{\rm D} ... ...3}}\right)^2-\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}$$

$$\hspace{140mm} \because\,(\ref{43})+(\ref{44})$$

$$=-\lambda_{\rm pp}{\rm H}^2 + \lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3... ...m H}{\rm D} -\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}$$

$$= -\lambda_{\rm pp}{\rm H}^2 - 2 \la... ...He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} {\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}\qquad \because\,(\ref{45})$$ (49)

となる。同様に(42)は

$$\di{{\rm {He}^{4}}}{t} = -\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^... ...+2\lambda_{\rm p Be^7}{\rm H}{\rm Be^7}+2 \lambda_{\rm p Li^7}{\rm H}{\rm Li^7}$$

$$=-\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{... ...m {He}^{4}}}{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}\qquad \because \,(\ref{43})+(\ref{44})$$

$$=\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}} +\frac{1}{2}\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}\left({\rm {He}^{3}}\right)^2$$ (50)

$$=\frac{1}{2}\lambda_{{\rm {He}^{3}}{... ...e}^{3}}{\rm {He}^{4}}}{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}} \qquad \because \,(\ref{45})$$

$$=\frac{\lambda_{\rm pp}}{4}{\rm H}^2\left(1+\frac{2\lambda_{{\rm ... ...}{\rm {He}^{4}}}{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}{\lambda_{\rm pp}{\rm H}^2}\right)$$ (51)

となる。

ppI によるヘリウムの生成効率とppII と ppIII によるヘリウム生成の効率との比は

$$\frac{{\rm ppI}}{{\rm ppII}+{\rm ppIII}} = \frac{r_{{\rm {He}^{3}... ...}}{\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}}\frac{{\rm {He}^{3}}}{{\rm {He}^{4}}}$$ (52)

で与えられる。 さて、 pp 連鎖核融合反応に於けるエネルギーの生成率は、形式的に

$$\rho\varepsilon_{\rm pp} = \left(Q_{\rm pp}-Q_\nu^{\rm pp}\right)r_{\rm pp} +Q_{\rm pD} r_{\rm pD} +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}$$

$$\hspace{20mm}+ Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} r_{{\rm {He}^{3}... ... r_{\rm p Li^7} +\left(Q_{\rm p Be^7} -Q_\nu^{\rm p Be^7}\right)r_{\rm p Be^7}$$ (53)

と書ける。 $Q_\nu^{\rm pp},Q_\nu^{\rm e Be^7},Q_\nu^{\rm p Be^7}$ はニュートリノによるエネルギー損失を表す。 今の場合、平衡状態に達している核反応の反応率について次の様な関係式が成り立っている。

$$r_{\rm pD} =r_{\rm pp},\quad r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}=r_{... ...r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}+r_{\rm pD} -r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}=0$$ (54)

(54)を用いるとエネルギーの生成率は、

$$\rho\varepsilon_{\rm pp} = \left(Q_{\rm pp}-Q_\nu^{\rm pp}\right)r_{\rm pp} +Q_{\rm pD} ... ... pD} +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} \notag$$

$$\hspace{20mm}+ Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} r_{{\rm {He}^{3}... ... r_{\rm p Li^7} +\left(Q_{\rm p Be^7} -Q_\nu^{\rm p Be^7}\right)r_{\rm p Be^7}$$

$$= \left(Q_{\rm pp}+Q_{\rm pD}-Q_\nu^{\rm pp}\right)r_{\rm pD} +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} \notag$$

$$\hspace{20mm}+ Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} r_{{\rm {He}^{3}... ... r_{\rm p Li^7} +\left(Q_{\rm p Be^7} -Q_\nu^{\rm p Be^7}\right)r_{\rm p Be^7}$$

$$= \left(Q_{\rm pp}+Q_{\rm pD}-Q_\nu^{\rm pp}\right)\left(2r_{{\rm... ...ght) +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} \notag$$

$$\hspace{20mm}+ Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} r_{{\rm {He}^{3}... ... r_{\rm p Li^7} +\left(Q_{\rm p Be^7} -Q_\nu^{\rm p Be^7}\right)r_{\rm p Be^7}$$

$$=\left[2\left(Q_{\rm pp} + Q_{\rm pD}\right) +Q_{{\rm {He}^{3}}{\... ...\rm pp}+Q_{\rm pD}-Q_\nu^{\rm pp}\right)R_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} \notag$$

$$\hspace{20mm}+ Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} r_{{\rm {He}^{3}... ... r_{\rm p Li^7} +\left(Q_{\rm p Be^7} -Q_\nu^{\rm p Be^7}\right)r_{\rm p Be^7}$$

$$=\left[2\left(Q_{\rm pp} + Q_{\rm pD}\right) +Q_{{\rm {He}^{3}}{\... ...\rm {He}^{4}}} -Q_\nu^{\rm pp}\right)\left(r_{\rm e Be^7}+r_{\rm p Be^7}\right)$$

$$\hspace{60mm}+\left(Q_{\rm e Be^7} + Q_{\rm p Li^7} - Q_\nu^{\rm ... ...)r_{\rm e Be^7} +\left(Q_{\rm p Be^7} - Q_\nu^{\rm p Be^7}\right)r_{\rm p Be^7}$$

$$=\left[2\left(Q_{\rm pp} + Q_{\rm pD}\right) +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} -2Q_\nu^{\rm pp}\right]r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}$$

$$\hspace{20mm}+\left[Q_{\rm pp} +Q_{\rm pD} +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm... ... Be^7} +Q_{\rm p Li^7} -Q_\nu^{\rm pp} -Q_\nu^{\rm p Be^7}\right]r_{\rm e Be^7}$$

$$\hspace{40mm}+\left[Q_{\rm pp} +Q_{\rm pD} +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm... ...^{4}}} +Q_{\rm p Be^7} -Q_\nu^{\rm pp} -Q_\nu^{\rm p Be^7}\right]r_{\rm p Be^7}$$

と書けることから、

$$\rho\varepsilon_{\rm pp} =\left[2\left(Q_{\rm pp} + Q_{\rm pD}\right) +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} -2Q_\nu^{\rm pp}\right]r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}$$

$$\hspace{20mm}+\left[Q_{\rm pp} +Q_{\rm pD} +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm... ...{\rm e Be^7}}{r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}}r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}$$

$$\hspace{40mm}+\left[Q_{\rm pp} +Q_{\rm pD} +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm... ...{\rm p Be^7}}{r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}}r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}$$ (55)

であることが分かる。 ここで

$$2\left(Q_{\rm pp} + Q_{\rm pD}\right) +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} = Q_{\rm pp} + Q_{\rm pD} +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} +Q_{\... ...^7} = Q_{\rm pp} + Q_{\rm pD} +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} +Q_{\rm p Be^7}$$

$$= \left(4 M_{\rm H} -M_{\rm He}\right)c^2 \equiv Q_{\rm 4 p \to He} = 26.73 [{\rm MeV}]<tex2html_comment_mark>19$$

であるとすれば、(55)は更に

$$\rho\varepsilon_{\rm pp} = \left(Q_{\rm 4 p \to He} - 2Q_\nu^{\rm pp}\right) r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}$$

$$\hspace{20mm}+ \left[Q_{\rm 4 p \to He} - \left(Q_\nu^{\rm pp} +Q... ...{\rm e Be^7}}{r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}}r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}$$

$$\hspace{40mm}+ \left[Q_{\rm 4 p \to He} - \left(Q_\nu^{\rm pp} +Q... ...{\rm p Be^7}}{r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}}r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}$$

$$=\left(r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}+r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He... ... {He}^{3}}}}{r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}+r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}}}$$

$$\hspace{20mm}+\left[ \left(1-\frac{Q_\nu^{\rm pp} +Q_\nu^{\rm e B... ...}}}{r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}+r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{4}}} } \Bigg\}$$ (56)

と書けることが分かる。 pp 連鎖反応に於いて、 どの過程がどのくらいの割合でエネルギーを発生させているかは、 反応の起こっている領域の温度や組成に依存する。