1 連鎖核反応ppI

連鎖核反応 ppI に於ける各原子核の数密度変化を考える。${\rm H}$ は(19) より、 ${\rm H(p,\beta^+)D},{\rm D(p,\gamma)He^3}$ で消滅、 ${\rm He^3(He^3,2p)He^4}$ で生成されるので、

$$\di{{\rm H}}{t} = -2 r_{\rm pp} - r_... ...He^3}\frac{\left({\rm He^3}\right)^2}{2} \qquad \because\,(\ref{10}),(\ref{11})$$ (22)

となる。以下同様に考えると ${\rm D}$ は ${\rm H(p,\beta^+)D}$ で生成され、 ${\rm D(p,\gamma)He^3}$ で消滅するので、

$$\di{{\rm D}}{t} =r_{\rm pp}-r_{\rm pD} = \lambda_{\rm pp} \frac{{\rm H}^2}{2} - \lambda_{\rm pD}{\rm H}{\rm D}$$ (23)

となる。 ${\rm He^3}$ は ${\rm D(p,\gamma)He^3}$ で生成され、 ${\rm He^3(He^3,2p)He^4}$ で消滅するので

$$\di{{{\rm {He}^{3}}}}{t} = r_{\rm pD}-r_{{\rm {He}^{3}} {\rm {He}... ...2 \lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}\frac{\left({\rm {He}^{3}}\right)^2}{2}$$ (24)

となる。 ${\rm {He}^{4}}$ は ${\rm He^3(He^3,2p)He^4}$ で生成されるので

$$\di{{\rm {He}^{4}}}{t} = r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} =\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} \frac{\left({\rm {He}^{3}}\right)^2}{2}$$ (25)

となる。これを時間積分するとき、 各反応に於けるその反応の速さを決める係数 $\lambda_{\rm aX}$ または $\sigma_{\rm aX}$ が大きく異なることを使うと、 何がどのように起こるか見やすくなることがある。 例えば、 星の内部で実現される温度や化学組成では一般に

$$\lambda_{\rm pD} \gg \lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} \gg \lambda_{\rm pp}$$ (26)

が成り立っている。 この場合(23) を良い近似で ${\rm H}$ が一定である（${\rm H}$ の変化する速さに比べ、${\rm D}$ の変化する速さがずっと速い）とし、 更に $\lambda_{\rm pD}$ と $\lambda_{\rm pp}$ が一定であるとして時間について積分することができる。 この近似の元で積分すると、 これはベルヌーイの微分方程式の形であるから

$$D(t) = e^{-\int \lambda_{\rm pD} {\rm H} dt} \left\{ \int \frac{\lamb... ...t \frac{\lambda_{\rm pp}{\rm H}^2}{2} e^{\lambda_{\rm pD}{\rm H}t} dt +C\right)$$

$$= e^{-\lambda_{\rm pD} {\rm H}t} \left( \frac{\lambda_{\rm pp}{\r... ...\rm pp}{\rm H}}{2\lambda_{\rm pD}} \left(1-e^{-\lambda_{\rm pD}{\rm H}t}\right)$$

となるが、初期値 $D(0)=D_0$ を考慮すると

$$D(t)= D_0 e^{-\lambda_{\rm pD} {\rm H}t} +\frac{\lambda_{\rm pp}... ...m H}}{2\lambda_{\rm pD}} \left(1-e^{-t/\tau_{\rm p}\left({\rm D}\right)}\right)$$ (27)

と求めることができる。 従って $\tau_{\rm p}\left({\rm D}\right)\equiv 1/(\lambda_{\rm pD} {\rm H})$ が短いとすれば、 短時間（厳密には $t\to \infty$） で

$$D = \frac{\lambda_{\rm pp} {\rm H}}{2\lambda_{\rm pD}}$$ (28)

となることが分かる。 これは又、 (23)に於いて左辺の時間微分を零とおいたとき、つまり反応が平衡に達したときの解になっている。 これを使えば(24)は

$$\di{{\rm {He}^{3}}}{t} = -\lambda_{\rm {\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}\left({\rm {He}^{3}}\right)^2 +\frac{\lambda_{\rm pp}{\rm H}^2}{2}$$ (29)

と書ける。 $\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}\gg \lambda_{\rm pp}$ のとき、 同様な理屈で、やはり ${\rm H}$ を一定として (29) を積分すると、これはリカッチの微分方程式の形をしているので、 特解 $\alpha = {\rm H}\sqrt{\lambda_{\rm pp}/(2\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}})}$ はすぐ分かり、一般解は

$${\rm {He}^{3}} = \frac{e^{\int -2 \alpha \lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} ... ...}}}t }}{ e^{ -2\alpha \lambda_{{\rm {He}^{3}} {\rm {He}^{3}}}t } + C'} + \alpha$$

となるが、これを初期条件 ${\rm {He}^{3}}(0)={\rm He_0^3}$ の元で解けば

$$\left[ ({\rm {He}^{3}} -\alpha) +2\alpha\right] e^{ -2\alpha \lambda_{{\rm {He}^{3}} {\rm {He}^{3}}}t } = C'' \left({\rm {He}^{3}}-\alpha\right)$$

$$\left({\rm {He}^{3}}+\alpha\right)e^{ -2\alpha \lambda_{{\rm {He}... ...ad \Longrightarrow \quad C'' = \frac{{\rm He_0^3} +\alpha}{{\rm He_0^3}-\alpha}$$

となるので、結局

$$\frac{{\rm {He}^{3}} +\alpha}{{\rm {He}^{3}}-\alpha} = \frac{{\rm... ...a}{{\rm He_0^3}-\alpha} e^{ -2\alpha \lambda_{{\rm {He}^{3}} {\rm {He}^{3}}}t }$$ (30)

を得る。 従って $\tau \sim 1/\sqrt{2\lambda_{\rm pp}\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}}$ 程度の時間の経過（厳密には $t\to \infty$） で

$${\rm {He}^{3}} = {\rm H}\sqrt{\frac{\lambda_{\rm pp}}{2\lambda_{\rm {\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}}}$$ (31)

となることが分かる。 これは(29) で左辺を零とおいたとき（反応が平衡に達したとき）の解になっている。 (28),(31)を使うと、(22)は

$$\di{{\rm H}}{t} = -2 \lambda_{\rm pp}\frac{{\rm H}^2}{2}-\lambda_{\rm pD} {\rm H}... ... He^3}\frac{\lambda_{\rm pp}{\rm H}^2}{2\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}}$$

$$=- \lambda_{\rm pp}\frac{{\rm H}^2}{2} = -2 r_{\rm pp}$$ (32)

となり、(25)は

$$\di{{\rm {He}^{4}}}{t} = \lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} \frac{\left({\rm {He}^{3}}\right)^2}{2} = r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}$$ (33)

$$=\lambda_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}\frac{{\rm H}^2 \lambda_{\... ...}}{\rm {He}^{3}}}} = \frac{\lambda_{\rm pp}}{4}{\rm H}^2 = \frac{r_{\rm pp}}{2}$$ (34)

となる。

さて、連鎖核反応 ppI によるエネルギー発生率は。形式的に

$$\rho \varepsilon_{\rm ppI} = \left(Q_{\rm pp}-Q_{\rm\nu}\right)r_... ...D}r_{\rm pD} + Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}$$ (35)

と書けるが、 反応(23),(24)が平衡に達しているとすれば、(28)と(31) より

$$r_{\rm pD} =\lambda_{\rm pD}{\rm H}{\rm D} =\lambda_{\rm pp}\frac... ... pp} ,\quad そして、\quad r_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}=\frac{r_{\rm pp}}{2}$$ (36)

である。これらを使えば

$$\rho \varepsilon_{\rm ppI} = \left(Q_{\rm pp}-Q_{\rm\nu}\right)r_{\rm pp} +Q_{\rm pD}r_{\rm ... ...p} +Q_{\rm pD}r_{\rm pp} + Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}\frac{r_{\rm pp}}{2}$$

$$=\left[ 2\left(Q_{\rm pp}+Q_{\rm pD}\right) +Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}} -2 Q_{\rm\nu}\right]\frac{r_{\rm pp}}{2}$$ (37)

$$=\left(Q_{\rm pp}-Q_{\rm\nu} + Q_{\rm pD} +\frac{Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}}{2}\right)r_{\rm pp}$$ (38)

が成り立つ。 ここで $2\left(Q_{\rm pp}+Q_{\rm pD}\right)+Q_{{\rm {He}^{3}}{\rm {He}^{3}}}=\left(4M_{\rm H}-M_{\rm He}\right)c^2$ であり、 また $Q_\nu$ はニュートリノにより運び去られる平均エネルギーである。