3 CN循環についての閉じた方程式

CN 循環については(73)の右辺の最後の項を無視できるとし、 また、 $\alpha=1\quad(\gamma=0)$ として

$$\di{{\rm C^{12}}}{t} =-\frac{{\rm C^{12}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm... ...\rm C}^{13}\right)} -\frac{{\rm N^{14}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm N}^{14}\right)}$$ (77)

とすれば、 これは閉じた方程式になっていて、 行列を使って

$$\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}{\rm C^{12}} \ {\rm C^{13}} \ {\rm... ...ix} \begin{pmatrix}{\rm C^{12}} \ {\rm C^{13}} \ {\rm N^{14}} \end{pmatrix}$$ (78)

と書ける。また、

$$\frac{d}{dt}\left({\rm C^{12}}+{\rm C^{13}}+{\rm N^{14}}\right) =0$$ (79)

であるから、 ${\rm C^{12}}+{\rm C^{13}}+{\rm N^{14}} ={\rm Constant}$ である。

(78)の解を

$$\vec{W}(t) =\begin{pmatrix}{\rm C^{12}}(t) \ {\rm C^{13}}(t) \\... ...{13}\right) & -\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right) \end{pmatrix} \vec{U}$$ (80)

として求める。 特性方程式を立てると

$$\begin{vmatrix} \mu+\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) & ... ...{13}\right) & \mu +\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right) \end{vmatrix}=0$$

であるから、これを整理すると

$$\mu\left\{ \mu^2 +\left( \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\righ... ...m N}^{14}\right)\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) \right) \right\} =0$$

となるので、固有値は

$$\mu_1 = 0$$

$$\mu_2 = \frac{ -\left( \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) + \ta... ...eft({\rm C}^{13}\right)+\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right) \right) }{2}$$

$$\hspace{20mm}+\frac{\sqrt{ \left( \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^... ...ft({\rm N}^{14}\right)\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) \right) } }{2}$$

$$=\frac{-\Sigma +\Delta}{2}$$

$$\mu_3 = \frac{ -\left( \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) + \ta... ...eft({\rm C}^{13}\right)+\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right) \right) }{2}$$

$$\hspace{20mm}-\frac{\sqrt{ \left( \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^... ...ft({\rm N}^{14}\right)\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) \right) } }{2}$$

$$=\frac{-\Sigma -\Delta}{2}$$

となる。 ここで

$$\Sigma = \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) + \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{13}\right)+\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right)$$

$$\Delta = \sqrt{ \left( \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) + \tau... ...1}\left({\rm N}^{14}\right)\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) \right) }$$

である。 (80)より

$$\left(\mu + \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) \right)U^1 = \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right) U^3$$

$$\left(\mu + \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{13}\right) \right)U^2 = \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) U^1$$

$$\left(\mu + \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right) \right)U^3 = \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{13}\right) U^2$$

であるから、固有値を代入すると、適当な規格化のもと $\mu=\mu_1=0$ のとき

$$U^1 = \frac{\tau_{\rm p}\left({\rm C}^{12}\right)}{ \tau_{\rm p}^... ... p}^{-1}\left({\rm C}^{13}\right)+\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right) }$$

より

$$\vec{U}_1 = \frac{1}{\tau_{\rm p}\left({\rm C}^{12}\right) + \tau... ...eft({\rm C}^{13}\right) \ \tau_{\rm p}\left({\rm N}^{14}\right) \end{pmatrix}$$ (81)

となる。 $\mu=\mu_2=(-\Sigma +\Delta)/2$ のとき、$U^1=1$ とすると

$$U^2 = \frac{\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right)}{\mu +\tau... ...ght)}{\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{13}\right) -\dfrac{\Sigma-\Delta}{2}} =p$$

$$\mu U^3 + \mu U^1 + \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) U^1 =\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{13}\right)U^2$$

$$\mu U^3 + \mu U^1 + \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) U^... ...}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) U^1 -\mu U^2 \quad \Longrightarrow U^3 = -1-p$$

より

$$\vec{U}_2 =\begin{pmatrix}1 \ p \ -1-p \end{pmatrix}$$ (82)

となる。 $\mu=\mu_3=(-\Sigma-\Delta)/2$ のとき $U^1=1$ とすると

$$U^3 = \frac{\mu+\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right) }{\tau... ...ght) -\dfrac{\Sigma+\Delta}{2}}{\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right)} =q$$

$$\mu U^2 + \mu U^3 + \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right) U^3 =\tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm C}^{12}\right)U^1$$

$$\mu U^2 + \mu U^3 + \tau_{\rm p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right) U^... ...p}^{-1}\left({\rm N}^{14}\right)U^3- \mu U^1 \quad \Longrightarrow U^3 = -1-q$$

より

$$\vec{U}_3 =\begin{pmatrix}1 \ q \ -1-q \end{pmatrix}$$ (83)

となる。 これより一般解は、任意定数を $A,B,C$ として

$$\vec{W}(t) = A \vec{U}_1 + B \vec{U}_2 e^{\mu_2 t}+C \vec{U}_3 e^{\mu_3 t}$$ (84)

で与えられる。 $t\to \infty$ の極限、つまり循環が平衡に達するとき、 $\mu_2<0,\mu_3<0$ であるから、

$$\vec{W}(t) \to A \vec{U}_1$$ (85)

であることが分かる。 もし $\tau_{\rm p}\left({\rm C}^{12}\right),\tau_{\rm p}\left({\rm C}^{13}\right)\ll \tau_{\rm p}\left({\rm N}^{14}\right)$ なら、 触媒核の殆ど全てが ${\rm N^{14}}$ になることが分かる。