2 温度が低い場合の連鎖反応

$10^8 [{\rm K}]$ 以下の温度では、$\beta^+$ 崩壊による寿命が短いので、 ${\rm N^{13}}$、 ${\rm O^{15}}$、 ${\rm F^{17}}$ は短時間で平衡に達すると考えられることができる。 また、 普通の条件では $\tau_{\rm p}\left({\rm N}^{15}\right)$ は数年程度なので、 ${\rm N^{15}}$ もやはりその程度の時間で平衡に達すると考えられる。 よってこのときの平衡の条件式は

$$\frac{{\rm C^{12}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm C}^{12}\right)}= \frac... ...\rm O}^{15}\right)}= \frac{{\rm N^{15}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm N}^{15}\right)}$$ (70)

と書けるので、(60)〜(68)は

$$\di{{\rm p C^{12}}}{t} =-\frac{{\rm C^{12}}}{\tau_{\rm p}\left({\... ...12}\right)} + \alpha \frac{{\rm N^{14}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm N}^{14}\right)}$$ (71)

$$\di{{\rm C^{13}}}{t} =\frac{{\rm C^{12}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm C}^{12}\right)} -\frac{{\rm C^{13}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm C}^{13}\right)}$$ (72)

$$\di{{\rm N^{14}}}{t} =\frac{{\rm C^{13}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm ... ...\rm N}^{14}\right)} +\frac{{\rm O^{17}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm O}^{17}\right)}$$ (73)

$$\di{{\rm O^{16}}}{t} =\gamma \frac{{\rm O^{15}}}{\tau_{\rm p}\lef... ...\rm N}^{14}\right)} -\frac{{\rm O^{16}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm O}^{16}\right)}$$ (74)

$$\di{{\rm O^{17}}}{t} =\frac{{\rm O^{16}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm O}^{16}\right)} -\frac{{\rm O^{17}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm O}^{17}\right)}$$ (75)

と簡略化できることが分かる。 これらを足しあわせると

$$\frac{d}{dt}\left({\rm C^{12}}+{\rm C^{13}}+{\rm N^{14}}+{\rm O^{16}}+{\rm O^{17}}\right) = \frac{d}{dt}\Bigg( -\frac{{\rm C^{12}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm ... ...ht)} -(\alpha+\gamma)\frac{{\rm N^{14}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm N}^{14}\right)}$$

$$\hspace{20mm}+\frac{{\rm O^{17}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm O}^{17}\... ...{16}\right)} -\frac{{\rm O^{17}}}{\tau_{\rm p}\left({\rm O}^{17}\right)} \Bigg)$$

$$= 0$$ (76)

が示される。