2 潮汐力

${\bf\nabla} \Phi_D$ により、 潮汐力を計算すると

$$- {\bf\nabla} \Phi_D = {\bf\nabla} \left[ \frac{GM_2}{a}\frac{r^2}{a^2} P_2 (\cos\t... ...ac{GM_2}{a^2}\frac{r^2}{a^2} \frac{1}{2}\left(3\cos^2\theta -1\right) \right]$$

$$= {\bf e}_r\frac{2GM_2}{a^3}r \frac{1}{2} \left(3\cos^2\theta -1\... ...}_r- \frac{3GM_2}{a^2} \frac{r}{a} \cos\theta\cdot {\bf e}_\theta \sin\theta$$

$$= \frac{3GM_2}{a^2} \frac{r}{a} \left[ \cos\theta \left( {\bf e}_... ...e}_\theta \sin\theta \right) \right] -\frac{GM_2}{a^2}\frac{r}{a} {\bf e}_r$$

$$=\frac{3GM_2}{a^2} \frac{r}{a} \cos\theta \frac{{\bf a}}{\vert{\bf a}\vert} -\frac{GM_2}{a^2}\frac{r}{a} {\bf e}_r$$ (23)

となる。

第壱項は常に ${\bf a}$ と平行であり、 $\theta=0$ のとき $\va$ 正の方向で最大となる（星 $M_2$ の方向に引っ張られる）。 $\theta = \pm \pi/2$ のとき零となり、 $\theta = \pm \pi$ のとき$\va$ 負の方向で最大となる（星 $M_2$ 方向とは正反対方向に引っ張られる）。 第弐項は $-{\bf e}_r$ 方向に働く力で、常に星 $M_1$ の内側向きに働く力であるり、潮汐力は以上の力の和である（図参照）。

図: 左：(23)第一項に依る力。力の向きは$\va$ に常に平行である。右：(23)第弐項に依る力。力の向きは常に$M_1$ の中心を向いている。

図 16: 左；力の合成。右：潮汐力