1 潮汐ポテンシャル

図: $\theta, {\bf r,a},{\bf e}_r,{\bf e}_\theta \colon {\bf a/\vert a\vert}={\bf e}_r \cos\theta -{\bf e}_\theta \sin\theta$

$\Phi_2$ の展開式の第一項は定数であり、 力を生じさせないので無視できる。

$${\bf\nabla}= {\bf e}_r \deL{r} + {\bf e}_\theta \frac{1}{r}\deL{\theta}$$

であるとし、第弐項による力を計算すると

$$-{\bf\nabla} \left[-\frac{GM_2}{a}\frac{r}{a} P_1(\cos\theta)\right] = {\bf e}_r \deL{r}\left[ \frac{GM_2}{a} \frac{r}{a} P_1(\cos\the... ...\bf e}_r \frac{GM_2}{a^2} \cos\theta -{\bf e}_\theta \frac{GM_2}{a^2}\sin\theta$$

$$=\frac{GM_2}{a^2} \left({\bf e}_r \... ...rac{{\bf a}}{\left\vert{\bf a}\right\vert} \qquad \therefore \hbox{次図より}$$ (21)

となるが、 これは正に両星を質点と考えた場合に、星 $M_2$ が星 $M_1$ に及ぼす引力 $GM_2/a^2 \cdot{\bf a/\vert a\vert}$ であることが分かる。

今星 $M_1$ の中心を座標原点としているが、 この座標系は連星系の質量中心（これは慣性系としてよい）の周りを公転円運動しているので見かけの力が現れる。 これは遠心力であると考えることができるので、 遠心力の性質よりその向きは $-{\bf a/\vert a\vert}$ であり、大きさは

$$a \cdot \frac{M_2}{M_1+M_2} \Omega^2 = a \frac{M_2}{M_1+M_2} \frac{G\left(M_1+M_2\right)}{a^3} = \frac{GM_2}{a^2}$$

であるから

$$\hbox{(\ref{23})} + (\hbox{\textbf{遠... ...vert{\bf a}\right\vert} -\frac{GM_2}{a^2} \frac{{\bf a}}{\vert{\bf a}\vert} =0$$

となり、(21) の力と釣り合っていることが分かる。

星の変形に寄与する最初の項は、 従って、

$$\Phi_D = -\frac{GM_2}{a}\frac{r^2}{a^2} P_2(\cos\theta)$$ (22)

で与えられることになる。 これは潮汐ポテンシャルと呼ばれる。