2 潮汐力 (Tidal Force)

連星系中の星はもう一方の星の重力場により変形を受ける。 この問題は、 例えば、 月の重力場により地球上の海面が変形を受け、 地球の自転に伴って潮の満ち引きが起こるのと同じ問題である。 今、 星 $M_2$ の重力により引き起こされる星 $M_1$ の変形を計算することを考える。 星 $M_1$ が静水圧平衡にあるから

$${\bf\nabla} p = -\rho {\bf\nabla}\Phi$$ (17)

が成り立つとする。 ここで、

$$\Phi_1 +\Phi_2 =\Phi$$

であり、 $\Phi_1$ は星 $M_1$ の自己重力ポテンシャルであり、 星 $M_1$ の密度分布とポワッソンの式により

$${\bf\nabla}^2 \Phi_1 = 4\pi G \rho$$ (18)

で結びついている。 $\Phi_2$ は星 $M_2$ の自己重力ポテンシャルであり

$$\Phi_2 =-\frac{GM_2}{\left\vert{\bf r}-{\bf a}\right\vert}$$ (19)

で与えられる。 ここで座標原点は星 $M_1$ の中心にとってあり、 ${\bf r}$ は星 $M_1$ 内の点の位置ベクトルであり、 ${\bf a}$ は星 $M_2$ の位置ベクトルである。 このポテンシャルは ${\bf r} =\left\vert{\bf r}\right\vert < a=\left\vert{\bf a}\right\vert$ として展開すれば

$$\Phi_2 = -\frac{GM_2}{a} \left[ 1+\frac{r}{a} P_1(\cos\theta) +\frac{r^2}{a^2} P_2(\cos\theta)+\dots \right]$$ (20)

が得られる。 ここで $P_n(\cos\theta)$ はルジャンドル多項式であり、 $\theta$ は ${\bf r}$ と ${\bf a}$ と成す角度である。 低次のルジャンドル関数は以下の通りである。

$$P_0 (\cos\theta) =0$$

$$P_1 (\cos\theta) =\cos\theta$$

$$P_2 (\cos\theta) =\frac{1}{2}\left(3\cos^2\theta -1\right)$$

$$P_3 (\cos\theta) =\frac{1}{2}\left(5 \cos^3 \theta -3 \cos\theta\right)$$

$$\vdots\hspace{5mm} \hspace{20mm}\vdots$$