6 電場の導出

以上の結果を Eq.(5) に代入すると

$\displaystyle \vE\xt
= -\del{\vA\xt}{t} -\Nabla \phi\xt
= \frac{q}{4\pi \vepsil...
...eL{t'} \left(\frac{\vn(t') -\bm{\beta}(t')}{\kappa(t')R(\vx,t')}\right)\right]
$

と書けることが分かる。 また Eq.(6) より、

$\displaystyle \vB\xt$ $\displaystyle = \Nabla \times \vA \xt = \frac{\mu_0 q}{4\pi} \int_{V'} d^3\vx' ...
...left( \dfrac{ \delta\left( t-t' -\frac{R(\vx,t')}{c}\right)}{R(\vx,t')} \right)$    
  $\displaystyle = \frac{ q}{4\pi\vepsilon_0}\frac{1}{c^2} \Int dt' \, \left(\vn(t...
...t')} \left(\frac{\delta\left(t-t'-\frac{R(\vx,t')}{c}\right)}{R(\vx,t')}\right)$    
  $\displaystyle =\frac{ q}{4\pi\vepsilon_0} \frac{1}{c} \Int dt'\, \left(\vn(t') ...
...{R(\vx,t')} \deL{R(\vx,t')} \delta \left(t-t'-\frac{R(\vx,t')}{c}\right) \Bigg]$    

と書けることから、 時間積分を $ \vE\xt$ のときと同様に実行すると、

$\displaystyle \vB\xt
= \frac{q}{4\pi\vepsilon_0} \frac{1}{c}
\left[
\frac{\bm{\...
...t')}\deL{t'} \frac{\bm{\beta}(t') \times \vn(t')}{R(\vx,t')\kappa(t')}
\right]
$

となる。

電場 $ \vE\xt$ について Eq.(35) を用いて更に変形していくと、

$\displaystyle \vE\xt$ $\displaystyle = \frac{q}{4\pi \vepsilon_0} \Bigg[ \frac{\vn(t')}{R^2(\vx,t')\ka...
...a(t')} \deL{t'} \left(\frac{\bm{\beta}(t')}{\kappa(t') R(\vx,t')}\right) \Bigg]$    

で与えられることになる。 ここで右辺第一項と第弐項と($ t'$ で偏微分していない項)をまとめると、

$\displaystyle \frac{\vn(t')}{R^2(\vx,t')\kappa(t')} + \frac{\vn(t')\times \vn(t')\times \bm{\beta}(t')}{R^2(\vx,t')\kappa^2(t')}$ $\displaystyle =\frac{\vn(t') \kappa(t')}{R^2(\vx,t')\kappa^2(t')} + \frac{\vn(t')\times \vn(t')\times \bm{\beta}(t')}{R^2(\vx,t')\kappa^2(t')}$    
  $\displaystyle =\frac{\vn(t')}{\kappa^2(t')R^2(\vx,t')} -\frac{\vn(t') \left(\vn...
...) -\vn(t') \left(\vn(t')\times \bm{\beta}(t')\right)}{\kappa^2(t') R^2(\vx,t')}$    
  $\displaystyle =\frac{\vn(t')}{\kappa^2(t')R^2(\vx,t')} -\frac{\bm{\beta}(t')}{\kappa^2(t') R^2(\vx,t')}$    

であるから、

$\displaystyle \vE\xt = \frac{q}{4\pi \vepsilon_0} \Bigg[ \frac{\vn(t')}{R^2(\vx...
...a(t')} \deL{t'} \left(\frac{\bm{\beta}(t')}{\kappa(t') R(\vx,t')}\right) \Bigg]$ (36)

を得る。

Eq.(36) に残された時間微分を実行する。

$\displaystyle \dI{t'} \bm{\beta}(t')$ $\displaystyle = \dot{\bm{\beta}}(t')$    
$\displaystyle \dI{t'}\left(\kappa(t') R(\vx,t')\right)$ $\displaystyle = \di{\kappa(t')}{t'} R(\vx,t') + \kappa(t') \di{R(\vx,t')}{t'} =...
...}(t')}{c}\right)\right\}R(\vx,t') -\kappa(t') \left(\vn(t')\cdot \vu(t')\right)$    
  $\displaystyle = -\frac{1}{c}\left(\frac{\vn(t') \times \left(\vn(t')\times \vu(...
...eft(1-\frac{1}{c} \vn(t')\cdot \vu(t')\right)\left(\vn(t') \cdot \vu(t')\right)$    
  $\displaystyle =-\frac{1}{c}\left(\frac{\vn(t')\left(\vn(t')\cdot \vu(t') -\vu(t...
...eft(1-\frac{1}{c} \vn(t')\cdot \vu(t')\right)\left(\vn(t') \cdot \vu(t')\right)$    
  $\displaystyle =c \bm{\beta}^2(t') -c \left(\vn(t')\cdot \bm{\beta}(t')\right) -R(\vx,t')\left(\vn(t')\cdot \dot{\bm{\beta}}(t')\right)$    

であるから、これを用いると$ \vE\xt$は以下のように書くことができる。 ここで $ t'$ は省略して書いている。

$\displaystyle \vE\xt$ $\displaystyle = \frac{q}{4\pi \vepsilon_0} \Bigg[ \frac{\vn}{R^2 \kappa^2} + \f...
...frac{1}{c \kappa} \deL{t'} \left(\frac{\bm{\beta}}{\kappa R}\right) \Bigg]_{t'}$    
  $\displaystyle =\frac{q}{4\pi \vepsilon_0} \Bigg[ \frac{\vn}{R^2 \kappa^2} + \fr...
...eft(\vn\cdot \bm{\beta}\right) -R\left(\vn\cdot \dot{\bm{\beta}}\right) \right)$    
  $\displaystyle \hspace{30mm} -\frac{\bm{\beta}}{R^2 \kappa^2} -\frac{1}{c \kappa...
...,t')\left(\vn(t')\cdot \dot{\bm{\beta}}(t')\right) \right) \right\} \Bigg]_{t'}$    
  $\displaystyle =\frac{q}{4\pi\vepsilon_0} \Bigg[ \frac{ \left(1-\vn\cdot \bm{\be...
...bm{\beta}\bm{\beta}^2-\left(\vn\cdot \bm{\beta}\right)\bm{\beta}}{\kappa^3 R^2}$    
  $\displaystyle \hspace{80mm} + \frac{ \vn \left(\vn \cdot \dot{\bm{\beta}}\right...
...)-\bm{\beta}\left(\vn \cdot \dot{\bm{\beta}}\right) }{c \kappa^3 R} \Bigg]_{t'}$    
  $\displaystyle =\frac{q}{4\pi \vepsilon_0} \left[ \frac{1}{\kappa^3} \frac{ \lef...
...bm{\beta}} \left(\vn -\bm{\beta}\right) -\kappa\dot{\bm{\beta}}}{R}\right]_{t'}$ (37)
  $\displaystyle =\frac{q}{4\pi \vepsilon_0} \left[ \frac{\left(\vn -\bm{\beta}\ri...
...\left(\vn \cdot \left(\vn -\bm{\beta}\right)\right) }{c\kappa^3 R} \right]_{t'}$    
  $\displaystyle = \frac{q}{4\pi \vepsilon_0} \left[ \frac{\left(1-\bm{\beta}^2\ri...
...vn -\bm{\beta}\right) \times \dot{\bm{\beta}}\right\}}{\kappa^3 R} \right]_{t'}$ (38)

となり、Eq.(31) が導かれた。 無限遠で効いてくる部分($ 1/R$ に比例する部分)は、 粒子の加速度運動に起因していることが分かる。

fat-cat 平成16年11月29日