1 気体が縮退していない場合

気体が縮退していない（$\alpha'$ が正で十分大きい、従って $-\mu'\gg kT$ ）のとき

$$F_\beta(\alpha')=\int_0^\infty\frac{w^{\beta }}{\exp\left(\alpha'... ...\infty w^\beta e^{-(\alpha'+w)} dw =e^{-\alpha'}\int_0^\infty w^\beta e^{-w} dw$$ (24)

として良いとする。このとき $P$ は前問の結果より

$$P =n_0 (\alpha',T)\,kT \left[\frac{2}{3}\frac{F_{3/2}(\alpha')}{F_{... ...frac{3}{2}\int_0^\infty w^{1/2}e^{-w}dw}{\int_0^\infty w^{1/2}e^{-w}dw} =n_0 kT$$

であるから

$$P=n_0 kT$$ (25)

であることが分かる。 非縮退の極限で化学ポテンシャル $\mu$ は (19) より、これまでの近似の許で

$$n_0 =n_0(\alpha',T)=\frac{4\pi}{h^3}(2mkT)^{3/2} F_{1/2}(\alpha') =\f... ...\int_0^\infty w^{1/2}e^{-w} dw , \qquad w^{1/2}=s,\di{s}{w}=\frac{1}{2}w^{-1/2}$$

$$=g\,\frac{4\pi}{h^3}(2mkT)^{3/2}e^{-\alpha'}\int_0^\infty s^2e^{-... ...a'}\frac{1}{4}\sqrt{\pi} =g\left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)^{3/2}\,e^{-\alpha}$$

$$\Longrightarrow \quad e^{-\alpha'} = \frac{n_0}{g}\left(\frac{h^2}{2\pi mkT}\right)^{3/2}$$

となるので、 $-\alpha' = \beta \mu' , \mu=\mu'+mc^2$ より

$$\mu' = kT \ln \left[\frac{n_0}{g}\left(\frac{h^2}{2\pi mkT}\right... ...=mc^2+ kT \ln \left[\frac{n_0}{g}\left(\frac{h^2}{2\pi mkT}\right)^{3/2}\right]$$ (26)

と計算することができる。今 $g$ は $g=2$であった。 このとき(17) は

$$n(p) = \bar{n}_F(\epsilon ) \,g\,\frac{4\pi p^2}{h^3} = \frac{8\pi p^2... ...alpha'+\beta \epsilon')} = \frac{8\pi p^2}{h^3} e^{-\alpha'}\,e^{-\beta p^2/2m}$$

$$= \frac{8\pi p^2}{h^3} \frac{n_0}{g}\... ...\frac{4\pi p^2}{(2\pi mkT)^{3/2}} \exp\left(-\frac{p^2}{2mkT}\right) =(\ref{5})$$

となるから、Maxwell 分布に一致することが分かる。

(1)〜(8) の結果は、この近似のもとで得られたものである。