1 分布関数

熱平衡にある体積 $V$ の容器の中に $N$ 個の気体粒子があるとする。 位相空間の単位体積当たりの粒子数を $\bar{n}\left(\vec{r},\vec{p}\right)$ と書けば、 位相空間内の微小体積中 $d^3\vec{x}\,d^3\vec{p}$ に存在する粒子数は、 $\bar{n}\left(\vec{x},\vec{p}\right)\,d^3\vec{x}\,d^3\vec{p}$ で与えられることになる。 $\bar{n}\left(\vec{x},\vec{p}\right)$ は分布関数などと呼ばれる。

分布関数 $\bar{n}\left(\vec{x},\vec{p}\right)$ が空間的に一様であるとすれば $\bar{n}\left(\vec{x},\vec{p}\right)=\bar{n}\left(\vec{p}\right)$ と書くことができるから、 位相空間について積分して

$$N= \int d^3\vec{p}\int_V d^3\vec{x} \,\,\, \bar{n}\left(\vec{x},\vec{p}\right) = V \int d^3\vec{p}\,\,\, \bar{n}\left(\vec{p}\right)$$ (1)

を得る。 $\bar{n}\left(\vec{p}\right)$ が運動量空間について等方的であるとすれば、 $\bar{n}\left(\vec{p}\right)$ は運動量の絶対値 $p=\vert\vec{p}\vert$ のみに依存し、

$$n_0 \equiv \frac{N}{V} = \int d^3\vec{p}\,\,\, \bar{n}\left(\vec{... ...mega\,\,\,\bar{n}\left(\vec{p}\right)=\int_{0}^\infty \bar{n}({p})4\pi p^2\,dp$$

となる。 ここで $d\Omega=\sin\theta d\theta d\phi$ は微小立体角である。 このとき運動量の絶対値 $p$ が $p$ と $p+dp$ との間にある粒子の数密度を $n(p)$ と書けば、 $n(p)=4\pi p^2 \bar{n}(p)$ で与えられる。 分布関数 $n(p)$ は一般に、 粒子の運動量 $p$ だけに依存するだけでなく、 温度 $T$ や化学ポテンシャル $\mu$ にも依存するので、 上の式は

$$n_0\left(\mu,T\right) = \int_0^\infty n(p) dp$$ (2)

と書くことができる。 上の分布関数 $n(p)$ は全立体角について積分したものになっているので、 運動量の絶対値 $p$ が $p+dp$ との間にある単位立体角当たりの粒子数密度は、 $n(p)/4\pi$ で与えられる。