温度
の非相対論的な気体を考え、その気体粒子の運動量分布が Maxwell 分布
![$\displaystyle n(p)=n_0 \frac{4\pi p^2}{(2\pi mkT)^{3/2}} \exp\left(-\frac{p^2}{2mkT}\right)$](Ideal_gas-img35.png) |
(5) |
で与えらるとする。ここで
は気体の粒子数密度であり、
は気体粒子の質量、
は Boltzmann 定数である。
このとき、積分
を計算すると
となるので、
![$\displaystyle n_0 = \int_0^\infty dp \, n(p)$](Ideal_gas-img43.png) |
(6) |
であることが分かる。ここでガウス積分の公式
を用いている(以後もこの式は使用する)。
また、圧力を(3)に従って計算すると
であるから
![$\displaystyle P=n_0 kT$](Ideal_gas-img48.png) |
(7) |
が得られる。同様に内部エネルギーを (4) に従って計算すると
であるから
![$\displaystyle u= \frac{3}{2}n_0 kT = \frac{3}{2}P$](Ideal_gas-img52.png) |
(8) |
となることが分かる。
この式は、粒子一個当たりのエネルギーが
であることを示している。
fat-cat
平成16年11月28日