6 単位時間に散乱される光子気体の全エネルギー、弐

電子の静止系 $O'$ から見たとき、 単位時間単位立体角当たりにコンプトン散乱される光子の全エネルギーを

$$\di{E'_1}{t'} = c \sigma_T \int \vepsilon'_1 \tilde{f}'_\vepsilon d\vepsilon'$$ (43)

と書く。 $\vepsilon' \ll m c^2,\vepsilon'_1=\vepsilon'$ のとき

$$\di{E'_1}{t'} = \di{E_1}{t}$$

が成り立つと考えられるので、 散乱断面積としてトムソンの値が使えるとすると、観測者の系 $O$ ではEq.(43) より

$$\di{E_1}{t}=\di{E'_1}{t'} = c\sigma_T \int {\vepsilon'_1}^2 \frac{\tilde{f}'_\vepsilon ... ...a_T \int {\vepsilon'}^2 \frac{\tilde{f}'_\vepsilon d\vepsilon'}{\vepsilon'}$$

と書くことができる。 $\tilde{f}'_\vepsilon d\vepsilon'/\vepsilon'$ はローレンツ不変量であるから、

$$\frac{\tilde{f}'_\vepsilon d\vepsilon'}{\vepsilon'} = \frac{\tilde{f}_\vepsilon d\vepsilon}{\vepsilon}$$

となり、よって

$$\di{E_1}{t} = c \sigma_T \int \vepsilon'^2 \frac{\tilde{f}_\vepsilon d\vepsilon}{\vepsilon}$$

と書ける。ドップラー効果のEq.(25) を用いると

$$\di{E_1}{t} = c \sigma_T \gamma^2 \int \left(1-\beta \cos\theta\right)^2 \vepsilon \tilde{f}_\vepsilon d\vepsilon$$

となるので、観測者の系 $O$ では単位時間当たりにコンプトン散乱された光子の全エネルギーは、

$$P_{\rm compt}= \int \di{E_1}{t} d\Omega = c \sigma_T \gamma^2 \i... ...1-\beta \cos\theta\right)^2 \vepsilon \tilde{f}_\vepsilon d\vepsilon d\Omega$$ (44)

であるかとが分かる。