7 コンプトン散乱による正味の光子エネルギー増加率

入射光の分布 $\tilde{f}_\vepsilon\left(\vx , \Omega\right)$ が等方で、 入射方向に依存しないとして

$$\tilde{f}_\vepsilon \left(\vx ,\Omega\right) =\tilde{f}_\vepsilon \left(\vx\right)$$ (45)

とするとき、Eq.(43) の立体角に対する積分を実行すると

$$\int \left(1-\beta \cos\theta\right)d\Omega = 2\pi \int_0^\pi \left(1-\beta \cos\theta\right)\sin\theta d\th... ...-2 \beta \sin\theta \cos\theta + \beta^2 \cos^2\theta \sin\theta \right)d\theta$$

$$=2\pi \int_0^\pi \left\{ \sin\theta -\beta \sin 2\theta -\frac{\b... ...eta +\frac{\beta}{2} \cos 2\theta -\frac{\beta^2}{3} \cos^3 \theta\right]_0^\pi$$

$$= 4\pi\left(1+ \frac{\beta^2}{3}\right)$$

であるから、

$$P_{\rm compt} = c \sigma_T \gamma^2 \int \left(1-\beta \cos\theta\right)^2 \vep... ...eta^2}{3}\right)\left(4\pi\int\vepsilon \tilde{f}_\vepsilon d\vepsilon\right)$$

$$= c\sigma_T \gamma^2 \left(1+\frac{\beta^2}{3}\right)U_{\rm ph},\qquad U_{\rm ph} =4\pi\int\vepsilon \tilde{f}_\vepsilon d\vepsilon$$ (46)

となる。ここで $U_{\rm ph}$ は入射光子気体のエネルギー密度である。 入射光子気体のうち、 単位時間当たり

$$c\sigma_T U_{\rm ph}$$ (47)

が散乱されるので、 観測者の系から見たとき、 コンプトン散乱による正味のエネルギーの増加率はEq.(46) とEq.(47) の差を取って

$$\di{W}{t}\Bigg\vert _{\rm compt} = c \sigma_T \gamma^2 \left(1+\frac{\beta^2}{3}\right) U_{\rm ph}... ...ma_T \gamma^2 U_{\rm ph} \left( 1+ \frac{\beta^2}{3} -\frac{1}{\gamma^2}\right)$$

$$=\frac{4}{3}c\sigma_T \gamma^2 \beta^2 U_{\rm ph}$$ (48)

となる。この量は常に正であるから、

$$R \equiv \frac{1}{c\sigma_T U_{\rm ph}} \di{W}{t}\Bigg\vert _{\rm compt} = \frac{4}{3} \gamma^2 \beta^2$$ (49)

であるが、 非相対論的な電子の極限では $\gamma \sim 1,\beta \ll 1$ であるから、 $R \propto \beta^2 \ll 1$ と小さくなり、 逆に相対論的な極限では $\gamma \gg 1,\beta \sim 1$ であるから $R \propto \gamma^2 \gg1$ と大きくなる。