3 定常状態にある降着円盤

定常状態にある降着円盤の性質を考える。 降着円盤が定常状態にあるとして、 ${\partial}/{\partial t} = 0$ とする。 このとき、質量保存の式(4) から円盤物質の降着率 $\dot{M}$ を

$$\dot{M} \equiv 2 \pi r \Sigma (-v_r)$$ (12)

で定義できれば、質量降着率は一定であると考えることができる。 このとき角運動量保存の式(9) は

$$( )=\frac{\partial}{\partial r} \left( \Sigma r^3 \Omega v_r\right) = - \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\dot{M}}{2\pi} \Omega(r) r^2\right)$$

であるから、これを元に式(9)の両辺を円盤の内側の境界 $r_\mathrm{in}$ から外側に積分すると

$$\int_{r_\mathrm{in}}^{r} dr'( ) =-\int_{r_\mathrm{in}}^{r} \frac{\partial}{\partial r'} \left( ... ...hrm{in}}^2\right) =-\frac{\dot{M}}{2\pi}\sqrt{GM} (r^{1/2}-r_\mathrm{in}^{1/2})$$

$$\int_{r_\mathrm{in}}^{r} dr'( ) =\int_{r_\mathrm{in}}^{r} \frac{\partial}{\partial r'} \left( \... ..._{r_\mathrm{in}} \right) =\nu \Sigma \sqrt{GM} \left(-\frac{3}{2}\right)r^{1/2}$$

であるからこれを $\nu \Sigma$ について整理すると

$$\nu \Sigma = \frac{\dot{M}}{3 \pi } \left(1-\sqrt{\frac{r_\mathrm{in}}{r}}\right)$$ (13)

となる。ここでは内側で

$$\frac{\partial \Omega}{\partial r}\Bigg\vert _{r_\mathrm{in}}=0$$ (14)

とし、また $\Omega=\Omega_k$ としている。