1 質量の時間変化

円盤中に半径が $r$ で幅が $\Delta r$ のガスリングを考える。 ガスリングの質量は $2 \pi r \Delta r\cdot \Sigma$ 、 角運動量は $2\pi r \Delta r \Sigma \cdot r v_\phi$ で与えられる。 ガスリング内に於ける単位時間当たりの質量変化は、ガスリング両側面からの質量の流入流失の差であるので、 $v_r$ の向きに注意すると、ガウスの定理より

$$\frac{\partial(\text{リング内の質量})}{\partial t} = \frac{\parti... ...Sigma(r,t) v_r(r,t) -2 \pi (r+\Delta r) \Sigma(r+\Delta r,t) v_r (r+\Delta r,t)$$ (3)

となる。よって

$$\therefore\, \frac{\partial(2\pi r \D... ...r(r,t) -2 \pi (r+\Delta r) \Sigma(r+\Delta r,t) v_r (r+\Delta r,t) }{\Delta r}$$

と書け、この式を整理し $\Delta r \to 0$ の極限をとると

$$r \frac{\partial \Sigma}{\partial t}= -\frac{\partial }{\partial r} (r v_r \Sigma)$$ (4)

を得る。