2 散逸エネルギーと黒体輻射

粘性による散逸エネルギーの半分がガス円盤の片面から温度 $T$ の黒体輻射として放出されるとすれば

$$\frac{\bar{\varepsilon}}{2} = \sigma_\mathrm{SB} T^4$$ (18)

としてよいだろう。 ここで $\sigma_\mathrm{SB}$ は Stefan-Boltzmann 定数である。 さて、黒体輻射のプランクの法則によれば輻射の単位立体角当たりのエネルギー密度

$$u(\nu) = \frac{2 h}{c^3} \dfrac{\nu^3}{\exp \left(\dfrac{h\nu}{kT}\right) -1}$$ (19)

は、

$$\frac{h\nu_\mathrm{peak}}{kT} \approx 2.82$$ (20)

のときに最大値をとるのは（解析的に）容易に分かる。ここで $k$ は Boltzmann 定数である。

図: $\frac{\nu^3}{\exp\left(\nu\right) -1}$

今、 $\Omega=\Omega_k$ 、 $r \gg r_\mathrm{in}$ であると仮定する。すると式(13),(18) より

$$T = \left( \frac{\bar{\varepsilon}}{2 \sigma_\mathrm{SB}}\right)^... ...} \approx \left[ \frac{3GM \dot{M}}{8 \pi \sigma_\mathrm{SB} r^3} \right]^{1/4}$$

となるが、

$$R_g =\frac{2GM}{c^2}$$ (21)

を導入し、また太陽質量 $M_\odot$ を導入すると

$$( ) =\left[ \frac{3GM \dot{M}}{8 \pi \sigma_\mathrm{SB} R_g^3 \left(\... ...t]^{1/4} \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{-1/2} \left(\frac{R_g}{r}\right)^{3/4}$$

$$=\left[ \frac{3 c^6 }{64 \pi \sigma_\mathrm{SB} G^2 M_\odot \cdot... ...t]^{1/4} \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{-1/2} \left(\frac{R_g}{r}\right)^{3/4}$$

となるから、このときの $h \nu_\mathrm{peak}$ の値は

$$h \nu_\mathrm{peak} \sim 2.82 kT = 2.82 k \left[ \frac{3 c^6 }{6... ...]^{1/4} \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{-1/2} \left(\frac{R_g}{r}\right)^{3/4}$$

と書け、それぞれ定数、単位は

$$c = 2.99792458 \times 10^8 = 3.00 \times 10^8 \,[\mathrm{m \cdot s^{-1}}]$$

$$\sigma_\mathrm{SB} = 5.670400 \times 10^{-8} =5.67 \times 10^{-8} \,[\mathrm{J \cdot m^{-2} s^{-1} K^{-4}}]$$

$$G = 6.672 \times 10^{-11}=6.67 \times 10^{-11} \,[\mathrm{J \cdot m \cdot {kg}^{-2}}]$$

$$M_\odot = 1.9891 \times 10^{30} = 2.00 \times 10^{30}\,[\mathrm{kg}]$$

$$k = 1.3806503 \times 10^{-23} =1.38 \times 10^{-23} \,[\mathrm{J \cdot K^{-1}}]$$

$$1 \,[\mathrm{keV}] =1.60217646 \times 10^{-19} \times 10^{3} = 1.60 \times 10^{-16} \,[\mathrm{J}]$$

であるから、これらに気を付けると結局

$$h\nu_\mathrm{peak} \sim \frac{2.82 \cdot 1.38 \times 10^{-23}}{1.60\times 10^{-16}} ... ...t]^{1/4} \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{-1/2} \left(\frac{R_g}{r}\right)^{3/4}$$

$$=\frac{2.82 \cdot 1.38 \times 10^{-7}}{1.60} \left(6.84\right)^{1... ...t)^{1/4} \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{-1/2} \left(\frac{R_g}{r}\right)^{3/4}$$

$$\sim 7 \left(\frac{\dot{M}}{10^{-9} M_\odot /\mathrm{year}} \righ... ...\frac{M}{M_\odot}\right)^{-1/2} \left(\frac{R_g}{r}\right)^{3/4} [\mathrm{keV}]$$ (22)

を得る。

星の半径を $R$ とするとき、 このコンパクト星が中性子星であるとすれば $R_g/R \sim 0.1 =10^{-1}$ 、 また白色矮星であるとすれば $R_g/R \sim 0.0001 =10^{-4}$ としてよいであろう。 このときもし $\dot{M} = 10^{-9} M_\odot /\mathrm{year},M=M_\odot$ とすれば、 それぞれの星の周りの降着円盤が星の表面近傍で放出する輻射のピークエネルギーは

$$\sim 7 \times \left( 10^{-1} \right)^{3/4} = 1.24479\cdots \sim 1 \,[\mathrm{keV}]$$ 中性子星

$$\sim 7 \times 10^{-3} \,[\mathrm{keV}]$$ 白色矮星

となる。