4 角運動量保存の式

応力テンソルを使い角運動量保存の式を導く。 今考えているガスリングに於ける角運動量を $L$ とすると

$$L= 2\pi r^3 \Delta r \Sigma \Omega$$

であることは、 問壱本文中と式(7) からも明らかである。 角運動量に対する運動方程式より

$$\frac{d L}{dt} =\tau$$

であるが、いま考えているのはガスリング上であるから $\tau = G(r+\Delta r,t) -G(r,t)$ である。 上式左辺の微分はラグランジュ的な微分であるから、 偏微分で書き換えると

$$\frac{d L}{dt} =\frac{\partial L}{\partial t} +v_r \cdot {\nabla}$$

となるので、運動方程式は

$$\frac{\partial L}{\partial t} + v_r \cdot {\nabla}L = G(r+\Delta r,t) -G(r,t)$$

と書けることが分かる。 $v_r \cdot {\nabla} L$ の項は問壱同様に考えると、 閉曲線を貫いて $\Delta r$ に流入流出するトルクであると考えられるので

$$v_r \cdot {\nabla} L = 2 \pi (r+\Delta r)^3 v_r(r+\Delta r,t) \Si... ...\Delta r,t) \Omega(r+\Delta r,t) - 2 \pi r^3 v_r( r,t) \Sigma(r,t) \Omega(r,t)$$

となる。 以上より式を書き下すと

$$\frac{\partial}{\partial t} \left( 2\pi r^3 \Delta r \Sigma \Omega \right) + 2 \pi (r+\Delta r)^3 v_r(r+\Delta r,t) \Sigma(r+\Delta r,t) \Omega(r+\Delta r,t) - 2 \pi r^3 v_r( r,t) \Sigma(r,t) \Omega(r,t)$$

$$\hspace{20mm} = 2 \pi \nu \Sigma(r+\Delta r,t) (r+\Delta r)^3 \fr... ...+\Delta r,t)- 2 \pi \nu \Sigma(r,t) r^3 \frac{\partial}{\partial r} \Omega(r,t)$$

となり、両辺を $\Delta r$ で割って $\Delta r \to 0$ の極限をとり整理すると次のような角運動量保存の式を得る。

$$r\frac{\partial}{\partial t} \left( \Sigma r^2 \Omega \right) + \... ...tial}{\partial r}\left(\nu \Sigma r^3 \frac{\partial \Omega}{\partial r}\right)$$ (9)