1-e)

非相対論的運動をする荷電粒子が作る磁場の速度場が、ビオ・サバール(Biot-Savart)の法則に従って定常電流が作る磁場と一致していることを確認せよ。

1-e)解答

ビオ・サバールのの法則は

$$\vB(\vr) = \frac{1}{c} \Int \frac{\vj(\vr_0) \times \left(\vr-\vr_0\right)}{\left\vert\vr-\vr_0\right\vert^3} d^3 r_0$$ (12)

で書ける。よって単一の荷電粒子が作る磁場は、

$$\vB = \frac{q}{c R^2} \left( \vv\times \vn \right)$$ (13)

である。

一方、荷電粒子が作る電場の速度場は、

$$\vE_{{\rm rad}} = q \left[ \frac{\left(1-\beta^2\right)\left(\vn-\bm{\beta}\right)}{\kappa^3 R^2} \right]$$ (14)

である。非相対論の極限で、

$$\frac{1-\beta^2}{\kappa^3} =\left(1-\beta^2\right)\left(1-\beta\r... ...\left(1-\beta^2\right) \left(1+3\beta+O(\beta^2)\right) =1+3\beta + O(\beta^2)$$

又、 $\bm{\beta}= \dot{\vv}/c$であることから、非相対論的運動をする荷電粒子が作る磁場の速度場は以下のようになり、確かにEq.(13)と一致する。

$$\vB_{{\rm vel}} = \left[ \vn\times \vE_{{\rm vel}} \right] = q \f... ...\times \left(-\vv/c\right)}{R^2} = \frac{q}{c R^2} \left( \vv\times \vn \right)$$ (15)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp