1-c)

荷電粒子の位置ベクトルが$\vr$の時、電荷$q$の荷電粒子が一つだけ存在する系のdipole momentを ${\bf d}\equiv q \vr$で定義する。 輻射場の電場ベクトルをdipole momentを用いて書き表せ。 更にdipole momentの大きさ$d$のフーリエスペクトル $\hat{d}(\omega)$を用いて輻射場の電場のフーリエスペクトルを求めよ。

1-c)解答

定義より $\ddot{{\bf d}}=q\ddot{\vr}=q\dot{\vv}$であるから、

$$\vE_{{\rm rad}} = \left[ \frac{q}{Rc^2} \left\{ \vn \times \left(... ...t] = \left[ \frac{\vn\times\left(\vn\times \ddot{{\bf d}}\right)}{Rc^2} \right]$$ (6)

を得る。前問同様に$\Theta$を用いると電場の大きさは

$$\left\vert \vE_{{\rm rad}} \right\vert =\ddot{d}\frac{\sin\Theta}{Rc^2} =E(t)$$ (7)

となる。

$$\hat{E}(\omega) = \frac{1}{2\pi}\Int dt \, E(t) e^{-i\omega}; \quad d(t) = \Int d\omega\, \hat{d}(\omega)e^{i\omega t}$$ (8)

より、

$$\hat{d}(\omega) = \frac{1}{2\pi} \Int dt \, \ddot{d}(t) \frac{\sin\Theta}{Rc^2} e... ...2} \left\{ \Int d\omega \, \hat{d}(\omega)e^{i\omega t} \right\} e^{-i\omega t}$$

$$= \frac{\sin\Theta}{Rc^2} \left(i\omega\right)^2 \frac{1}{2\pi} \... ...a t} e^{-i\omega t} \right] =-\frac{1}{c^2R} \omega^2 \hat{d}(\omega)\sin\Theta$$ (9)

を得る。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp