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電磁波の運動量のx,y,z成分それぞれの運動量フラックスベクトル ${\bf M}_i$ を求めよ。求めた運動量フラックスベクトルのz成分の大きさと運動量密度ベクトルのz成分の比を求めよ。

運動量フラックスベクトル ${\bf M}_i$ は

$\displaystyle {\bf M}_x$	$\displaystyle = -\frac{1}{4\pi} \left( E_x E_x-\frac{1}{2}{\bf E}^2 +B_xB_x-\frac{1}{2}{\bf B}^2,\, E_x E_y +B_xB_y,\,E_x E_z+B_xB_z \right)$
$\displaystyle {\bf M}_y$	$\displaystyle = -\frac{1}{4\pi} \left(E_yE_x +B_yB_x ,\, E_y E_y-\frac{1}{2}{\bf E}^2 +B_yB_y-\frac{1}{2}{\bf B}^2,\, E_y E_z+B_yB_z \right)$
$\displaystyle {\bf M}_z$	$\displaystyle = -\frac{1}{4\pi} \left( E_z E_x +B_zB_x,\,E_z E_y+B_zB_y ,\, E_z E_z-\frac{1}{2}{\bf E}^2 +B_zB_z-\frac{1}{2}{\bf B}^2 \right)$

であるから、各成分について計算すると、 $z\leq \omega /k t$ のとき（ $z > \omega/k t$ のときは常に零ベクトル）

$\displaystyle {\bf M}_x$	$\displaystyle = -\frac{1}{4\pi} \left( E_0^2 \cos^2(\omega t-kz)-\frac{1}{2} E_0^2 \cos^2(\omega t-kz)-\frac{1}{2} E_0^2 \cos^2(\omega t-kz),0,0 \right) ={\bf0}$
$\displaystyle {\bf M}_y$	$\displaystyle = -\frac{1}{4\pi} \left( 0,-\frac{1}{2} E_0^2 \cos^2(\omega t-kz)... ..._0^2 \cos^2(\omega t-kz)-\frac{1}{2} E_0^2 \cos^2(\omega t-kz),0 \right)={\bf0}$
$\displaystyle {\bf M}_z$	$\displaystyle = -\frac{1}{4\pi} \left( 0,0, -\frac{1}{2}E_0^2 \cos^2(\omega t-k... ...(\omega t-kz) \right)=\frac{1}{4\pi}\left(0,0, E_0^2 \cos^2(\omega t-kz)\right)$

となる。よって運動量フラックスベクトルのz成分の大きさと運動量密度ベクトルのz成分の比は

である。これは比較する対象が、運動量と運動量フラックスであることから考えても明らかである。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp