7-1

${\rm div}\,\,{\rm rot}\, =0$が恒等的に成り立つことを示せ。

7-1解答

${\bf f}$を任意の三次元ベクトルとする。

$$\Nabla\cdot \left( \Nabla \times {\bf f}\right) = \Nabla \cdot \left\{ \left( \ve_i \partial_i \right) \times \le... ...i f_j\right\} = \Nabla \cdot \left( \vepsilon_{ijk}\ve_k \partial_i f_j \right)$$

$$=\left( \ve_{k}\partial_k\right) \cdot \left( \vepsilon_{ijk}\ve_k \partial_i f_j \right) = \vepsilon_{ijk} \partial_{ik} f_j$$

$$=0,\qquad \because\, \partial_{ik}=\partial_{ki},\, \vepsilon_{ijk}=-\vepsilon_{kji}$$

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp