5-2

この結果をFourier変換し、電圧の大きさと位相の周波数分布を求めよ。

5-2解答

上で得た$V(t)$にFourier変換を行うと、

$$\hat{V}(\omega) = V_{\rm out}(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} V(t) e^{i\omega t} dt =... ...t_{-\infty}^{+\infty} \theta(t) \exp\left[-\frac{t}{\tau} +i\omega t \right] dt$$

$$= \frac{v_0}{2\pi \tau} \int_{0}^{+\infty} \exp\left[-\frac{t}{\tau} +i\omega t \right] dt =\frac{v_0}{2\pi \tau} \frac{-1}{i\omega -1/\tau }$$

$$=\frac{v_0}{2\pi \tau} \frac{1}{1/\tau -i\omega }$$

となるので、

$$\left\vert V_{\rm out}(\omega)\right\vert = \frac{v_0}{2\pi \tau} \frac{1}{\sqrt{1/\tau^2 + \omega^2}} = \frac{v_0}{2\pi} \frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}$$ (23)

$$\phi = {\rm arg}\, V_{\rm out}(\omega) = \tan^{-1}{\omega \tau}$$ (24)

を得る。 一方入力電圧$v(t)$のFourierスペクトルは

$$\hat{v}(\omega) = V_{\rm in}(\omega) =\frac{1}{2\pi} \Int \frac{v_0}{2\pi}\delta(t) e^{i\omega t} dt = \frac{v_0}{2\pi}$$

より、

$$\left\vert V_{\rm in}(\omega)\right\vert = \frac{v_0}{2\pi}$$ (25)

$$\phi = {\rm arg}\, V_{\rm in}(\omega) = 0$$ (26)

となる。 以上より入力と出力電圧の大きさと位相の周波数分布をグラフにすると次のようになる。

図 7: 入出力電圧の周波数分布

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp