8-3

一様磁場中を、相対論的に運動する電子の運動方程式の空間成分が、

$\displaystyle \dI{t}\left(\gamma_e \vu\right) = -\frac{e}{c} \vu \times \vB$

(42)

と書け、空間成分が

$\displaystyle \dI{t}\left(\gamma m_e c^2\right) = -e\vu\cdot \vE =0$

(43)

で与えられることを示せ。

電磁場中の電子の運動方程式は

$\displaystyle \di{P^\mu}{\tau} = -\frac{e}{c} F^\mu{_\nu} U^\nu$

(44)

と書ける。ここで $P^\mu$ は四元運動量で、四元速度を用いて

$\displaystyle P^\mu = m_eU^\mu = \left(\gamma_e m_e c,\gamma_e m_e \vu\right)$

(45)

と書ける。 $\vE=0$ でEq.(44)の時間成分は

$\displaystyle \di{P^0}{\tau} =\gamma_e \dI{t} \left( \gamma_e m_e c\right) = F^0 = -\gamma_e \frac{e}{c}\left( \vE \cdot \vu\right) =0$

となるのでEq.(43)を得る。同様に空間成分は

$\displaystyle \di{P^i}{\tau} = \gamma_e \dI{t}\left(\gamma_e m_e \vu \right) = F^i = -\gamma_e \frac{e}{c} \left( \vu\times \vB \right)_i$

となるので、Eq.(42)を得る。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp