8-4

一様磁場中の相対論的電子は角振動数

$$\omega_B = \frac{\omega_{{\rm ce}}}{\gamma_e}$$ (46)

の円運動をすることを示せ。電子の磁場に平行な速度成分は零とした。

8-4解答

電子の磁場に平行な速度成分が零の場合、非相対論的電子の運動方程式は

$$m_e \di{\vu}{t} = -\frac{e}{c} \vu\times \vB$$

である。この時電子の運動は、磁場に垂直な面内での円運動であり $\omega_B=eB/(m_e c)=\omega_{{\rm ce}}$となる。

この運動が相対論的な場合を考える。Eq.(43)より、

$$\dI{t}\left(\gamma_e m_e c^2\right) =m_e c^2 \di{\gamma}{t} =0, \quad \therefore\, \gamma_e = {\rm const}$$

であるから、相対論的な場合の運動方程式は、

$$m_e \di{\vu}{t} = -\frac{e}{c} \gamma_e^{-1} \vu \times \vB$$

となる。右辺に $\gamma_e^{-1}={{\rm const}}$がかかっている以外、非相対論的な場合と一致するので、この時の電子の運動も、磁場に垂直な面内ので円運動となり、 $\omega_{B}=\omega_{{\rm ce}}/\gamma_e$となることが分かる。

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp