5-2-(b)

粒子の軌道を求めよ。但し、円運動の中心が原点になるように座標を選べ。

5-2-(b)解答

速度をそれぞれの成分について時間$t$で積分する。 $z$成分は先に考えて様に、

$$z(t) = \mathrm{Const} = 0$$ (28)

である。x,y成分についての積分を実行すると、

$$x(t) = \int \! v_x(t) \, dt = \frac{qE_0}{\gamma \omega} \sin\omega t +C_1$$

$$y(t) = \int \! v_y(t) \, dt = \frac{qE_0}{\gamma \omega} \cos\omega t +C_2$$

となる。 これは xy平面上で円を描く軌道であるが、中心が原点になるようにすると $C_1=C_2 =0$となり結局

$$x(t) = \frac{qE_0}{\gamma \omega} \sin\omega t$$ (29)

$$y(t) = \frac{qE_0}{\gamma \omega} \cos\omega t$$ (30)

を得る。整理すると

$$x^2 + y^2 = \left(\frac{qE_0}{\gamma \omega}\right)^2$$

となるので、粒子がxy平面上で半径 $qE_0/(\gamma \omega)$の時計回りの円運動をすることが分かる。

図 1:

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp