5-2-(a)

粒子の速度を時間の関数として書け。

5-2-(a)解答

運動方程式を各成分について書き下すと

$$m \di{v_x}{t} = -\gamma v_x + q \left[E_x +\frac{1}{c} \left(v_y B_z -v_z B_y\r... ...=-\gamma v_x + q \left[E_0 \cos\omega t -\frac{v_z}{c} E_0 \cos\omega t \right]$$

$$= -\gamma v_x + q E_0 \cos\omega t \, \left(1-\frac{v_z}{c}\right)$$ (24)

$$m \di{v_y}{t} = -\gamma v_y + q \left[E_y +\frac{1}{c} \left(v_z B_x -v_x B_z\r... ...-\gamma v_y + q \left[-E_0 \sin\omega t +\frac{v_z}{c} E_0 \sin\omega t \right]$$

$$= -\gamma v_y + q E_0 \sin\omega t \, \left(-1+\frac{v_z}{c}\right)$$ (25)

$$m \di{v_z}{t} = -\gamma v_z + q \left[E_z +\frac{1}{c} \left(v_x B_y -v_y B_x\r... ..._z + q E_0 \left[\frac{v_x}{c} \cos\omega t -\frac{v_y}{c} \sin\omega t \right]$$ (26)

となる。抵抗力がLorentz力に比べて十分大きいため、抵抗力とLorentz力の釣り合いで定常運動が実現されており $v/c \ll 1$であるから運動方程式(24),(25),(26)は次のように書き換えられるので、速度を得る。

$$\begin{cases}\gamma v_x &=\quad qE_0 \cos\omega t \\ \gamma ... ...frac{qE_0}{\gamma} \sin\omega t \\ v_z(t) &=\quad0 \end{cases}$$ (27)

著者: 茅根裕司 chinone_at_astr.tohoku.ac.jp