2 鞍点法(method of steepest descent)

次のサブセクションで必要になる鞍点法についてまとめておく。

複素平面上の経路積分の値

$$I = \int_{C} g(z) e^{f(z)} dz$$

を近似的に求めることを考える。 ここで $g(z)$ と $f(z)$ は複素平面上の解析関数であり、 積分経路はその両端に於いて $f(z)$ の実部が負の無限大となり、 積分の被積分関数が零になるように選べるか、 あるいは閉曲線に選べるものとする。 $f(z)=u(x,y)+i w(x,y)$ と書くとき、 もし実部が複素平面上のある点 $z_0$ で極大値をとるとすれば

$$\del{u}{x}=\del{u}{y}=0$$

であり、従って

$$\di{f(z_0)}{z}=0$$

となる。 ところが解析関数について Cauthy-Riemann の関係式から

$$\dell{u}{x}+\dell{u}{y}=0$$

が成り立つので、 点$z_0$ で例えば $\partial^2 u/\partial x^2 >0$（上に凸）のときは、 $\partial^2 u/\partial y^2<0$ （下に凸）となるので、 この極大値は絶対的な極大値ではなく、 ある経路に沿って得られる極大値であるにすぎず、 点 $z_0$ は鞍点(saddle point) になっている。 従って、積分を実行するに当たって必要なのは、

1. $u(x,y)$ が鞍点に於いて極大となるような
2. 鞍点の近傍で虚部 $w(x,y)$ が一定

となるように経路を選択する必要がある。 このように積分経路を選ぶことは、 鞍点 $z_0$ 近傍の経路を

$$z-z_0 =\delta e^{i\alpha}$$

で与えるとき（ここで $\alpha$ と $\delta$ は実数）、関数$f(z)$ の

$$f(z) -f(z_0) \cong f'(z_0)(z-z_0) +\frac{1}{2}f''(z_0)(z-z_0)^2 = \frac{1}{2}(z_0)(z-z_0)^2$$ (97)

なる展開に於いて

$$f''(z_0)(z-z_0)^2$$

が負の実数になるよう位相 $\alpha$ を選ぶことに対応する。 このとき実数 $t$ を

$$t^2 =-f''(z_0)\delta^2e^{2i\alpha}$$

を満たすように定義すれば、

$$t=\pm \delta \sqrt{\left\vert f''(z_0)\right\vert}$$

が得られ、 これを新しい変数として使えば、 求める積分は

$$I \approx \frac{g(z_0) e^{f(z_0)}e^{i\alpha}}{\sqrt{\left\vert f'... ...{2 \pi} g(z_0) e^{f(z_0)}e^{i\alpha}}{\sqrt{\left\vert f''(z_0)\right\vert}}$$ (98)

で与えられる。 ここで、鞍点$z_0$ の近傍で $g(z)$ は十分ゆっくり変化するものとしてる。 極大値が複素平面上に複数あるときは、 積分の近似は(98)の表現の和になる。